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Números irracionais são números reais que não podem ser expressos exatamente ou periodicamente.
Em outras palavras, os números irracionais são números reais que não podemos expressar como uma fração porque não sabemos o numerador e o denominador.
O nome dos racionais é a tradução do inglês, racionais, que se refere à proporção, ou seja, fração. Então, sabendo que os números racionais estão associados a uma razão, será mais fácil lembrá-los.
Irracional = Irrational = Irratio = Sem Razão = Sem Fração => Não podemos expressá-los como uma fração de dois números inteiros.
Números irracionais são identificados com a letra:
Esquema de números irracionais
Os números reais são divididos entre números irracionais e números racionais, que podem ser reduzidos a números inteiros e estes a números naturais. Números irracionais são deixados de fora e não podem ser subdivididos.
Fórmula de número irracional
Os números são infinitos, mas é preciso prestar atenção para saber como diferenciá-los dos números racionais.
Por exemplo,
- 2.71828182845904523536028747135… é um número irracional?
Sim, porque não podemos expressá-lo como uma fração:
- 5.666666666666667 é um número irracional?
Não, porque mesmo que haja decimais e a série continue até o infinito, ela pode ser expressa como uma fração:
- 8,75 é um número irracional?
Não, porque podemos expressá-lo como uma fração:
Exemplos de números irracionais famosos
Os números irracionais mais famosos são:
Existem aproximações para esses números, mas eles não são exatos.
Algumas raízes são números racionais e outras são irracionais. Por exemplo, a raiz quadrada de 4 é um número racional, mas a raiz quadrada de 93 é irracional.
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Os números irracionais formam o conjunto numérico de números decimais, infinitos e não periódicos. Conheça tudo sobre esses números.
Em suma, os números dividem-se em grupos de acordo com suas características básicas. Assim temos os números inteiros positivos, mais presentes no nosso dia a dia (1,2,3,4…), usados para cálculos básicos. Ademais, temos também os números racionais, que são os fracionados 1/2, 2/3, 5/4 etc, e também os números irracionais, que são diferentes de todos esses.
Dessa forma, os números irracionais não podem ser resultado da divisão entre dois números inteiros, e não podem ser representados por frações irredutíveis. Então, o conjunto de números irracionais é formado pelos números decimais, que por sua vez são infinitos e não periódicos.
Dessa forma, o conjunto dos números irracionais é representado pela letra I (maiúscula). Aliás, para entender melhor, hoje iremos falar mais sobre esse conjunto de números. Vamos lá!
Origem dos números irracionais
Os números irracionais surgiram após a criação dos números racionais, que foram criados para fazer a divisão de objetos. Desse modo, quando foi criado a reta numérica, cada um dos pontos correspondiam à um único número real.
A partir disso, os matemáticos perceberam que existiam algumas brechas nessa reta numérica, e que nenhum número racional poderia corresponder a essa lacuna. Até que eles encontraram uma solução: essas lacunas deveriam ser preenchidas com números decimais infinitos e não periódicos. E assim surgiu os números irracionais.
Nessa mesma época, descobriu-se ainda que alguns desses números decimais poderiam ser raízes não exatas. Essa descoberta foi um marco muito importante, principalmente para a geometria. E isso fica muito claro quando se fala sobre o Teorema de Pitágoras, que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Vejamos um exemplo do uso do Teorema de Pitágoras a seguir:
Descoberta dos irracionais pelo Teorema de Pitágoras.
Fonte: Guia do Estudante
Nesse exemplo, a medida da diagonal de um quadrado de lado mediano 1, será √2. No entanto, o resultado dessa raiz é um número decimal infinito e não periódico, ou seja, um número irracional.
Como não é possível chegar ao valor da raiz exata, o máximo que conseguimos é um número muito próximo, mas não o valor exato.
Sendo assim, ao extrair sua raiz quadrada, obtemos o seguinte resultado:
- √2 = 1,414213562373…. (infinito e não periódico)
Outros exemplos de números irracionais:
- √3 = 1,732050807568….
- √5 = 2,236067977499…
- √7 = 2,645751311064…
Números Irracionais e Dízimas Periódicas
As dízimas periódicas, apresentam uma representação decimal infinita, contudo, não é comum considerá-las como números irracionais. Isso explica-se pelo fato de que, embora elas contenham decimais infinitos, elas ainda representam-se por meio de frações, e os números racionais não.
Portanto, as dízimas periódicas possuem sempre a mesma sequência de repetição.
Vejamos o exemplo do número 0,333…, apesar de ser decimal infinito, ele ainda pode ser escrito na forma de fração irredutível, pois:
Sendo assim, as dízimas periódicas são números racionais.
Classificação dos Números Irracionais
Além disso, os números desse conjunto classificam-se em dois tipos: algébricos e transcendentes. Vejamos cada um deles a seguir:
Um número só será algébrico caso satisfaça uma equação algébrica de coeficientes inteiros.
Por exemplo:
A raiz quadrada de 2 (√2) pode ser escrita como sendo x2 – 2 = 0, então é irracional algébrico.
Já o número irracional transcendente é um número real ou complexo que não é raiz de nenhuma equação polinomial a coeficientes inteiros.
Como por exemplo:
- O número pi (π), descoberto por meio da divisão do comprimento de uma circunferência pelo diâmetro da mesma. Sendo ele o mais famoso dos números transcendentes.Π = 3,141592653589793238462…
- O número de Neper, descoberto por John Napier, representado por e, também é considerado um número irracional transcendente. Sendo aproximadamente igual a 2,718281.
- O número de ouro (divina proporção), representado por Phi (ϕ). Seu valor é ϕ = 1,618033… Encontra-se esse número através da razão áurea, seguindo a sequencia de Fibonacci.
Conjuntos numéricos
Como visto anteriormente, existem vários conjuntos números, cada um deles representado por uma letra. Assim, o conjunto dos números irracionais é representado por I, enquanto o conjunto dos números reais, é representado por R, é a união dos números racionais (Q) e números irracionais (I).
Portanto, todos os números naturais (N), inteiros (Z), racionais e irracionais são todos reais.
Fonte: Guia do Ensino
Enfim, o que você achou dessa matéria? E então, que tal conhecer um pouco mais sobre a vida de Pitágoras?
Fontes: Toda Matéria, Brasil Escola, Mundo Educação
Bibliografia:
- GOUVEIA, Rosimar. Números Irracionais. [20–]. Acesso em: 20 mar. 2020.
- SILVA, Luiz Paulo Moreira. “O que é o conjunto dos números irracionais?”; Brasil Escola. Acesso em: 20 mar. 2020.
- OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. Números irracionais. [20–]. Acesso em: 20 mar. 2020.
Fonte Imagem Destacada: Revista Galilleu