Fala aee! Beleza?? Vamos lá!
Nesse exercício, podemos seguir os procedimentos do enunciado para determinar a energia rms de uma distribuição de Fermi. Então, temos:
Onde a densidade dos estados é:
Substituindo:
Integrando:
é porque o processo de calcular a média do quadrado da energia tornam mais pesadas as energias maiores.
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Quando se procuram valores aproximados para a raiz quadrada de um n�mero positivo, em geral se pensa em dar esses valores na forma decimal. Ali�s, � assim que eles aparecem em uma calculadora, por exemplo. Isso � equivalente a exigir que o n�mero racional utilizado como aproxima��o tenha como denominador uma pot�ncia de 10. No entanto, os antigos gregos, que nem sequer tinham a nota��o decimal, sentiam-se satisfeitos com qualquer outro denominador. Quando Arquimedes (287-212 a.C.), em seu not�vel livro A medida do c�rculo, aproxima o comprimento da circunfer�ncia por meio dos per�metros de pol�gonos regulares inscritos e circunscritos, usa, sem dar nenhuma explica��o, valores aproximados para
De fato, a fra��o cont�nua simples para |
|
(repetindo-se indefinidamente o padr�o 1, 2, 1, 2, ...), produz as seguintes aproxima��es para
1
isto �:
1
As seis primeiras decimais (n�o utilizadas naquela �poca) de cada fra��o s�o, respectivamente:
1,000000 2,000000 1,666667 1,750000 1,727273 1,733333 1,731707 1,732143 1,732026 1,732057 1,732049 1,732051 ...
Pode-se observar que as aproxima��es s�o alternadamente por falta e por excesso (ver [8]), e que as aproxima��es usadas por Arquimedes est�o nessa lista. Entretanto, � estranho que Arquimedes tivesse em mente essa lista, pois por que teria ele utilizado o 9o e o 12o termos da lista, e n�o dois consecutivos, como parece mais natural? Al�m disso, alguns historiadores objetam que a teoria das fra��es cont�nuas s� teria surgido cerca de 18 s�culos depois de Arquimedes, com os italianos Bombelli (1526-1573?) e, principalmente, Cataldi (1548-1626). Essa obje��o, por�m, n�o � s�ria, pois vest�gios de uso de fra��es cont�nuas aparecem em v�rios autores da antig�idade, e, al�m disso, o pr�prio algoritmo de Euclides (300 a.C.) para o MDC identifica-se essencialmente com a fra��o cont�nua para um n�mero racional (ver [9]).
� prov�vel que, j� na �poca de Arquimedes, circulassem listas de aproxima��es racionais para ra�zes quadradas, obtidas por diversos m�todos. Um desses m�todos, que nos parece particularmente atraente, e preserva seu interesse ainda hoje, � o uso de m�dias. Esse processo j� era conhecido pelo matem�tico grego Her�o de Alexandria (100 d.C.), e � atribu�do por alguns a Arquitas de Taranto (428-365 a.C.). Mas, na primeira metade do s�culo XX, descobriu-se que ele j� era utilizado pelos mesopot�mios (onde hoje � o Iraque), h� uns 3500 anos (ver [1]).
Recordemos que, dados dois n�meros positivos a e b, suas m�dias aritm�tica A, geom�trica G, e harm�nica H t�m as propriedades:
(ii)
A demonstra��o dessas propriedades � simples (ver [7]), e as id�ias b�sicas s�o as seguintes: Como
do c�lculo direto. � conveniente observar, para uso na sala de aula, que essas propriedades t�m interpreta��es geom�tricas muito sugestivas, algumas delas encontradas em [5].
Utiliza��o de m�dias para aproximar ra�zes quadradas |
Vamos usar esses fatos para calcular, por exemplo, aproxima��es racionais de
Como, pela propriedade (ii), a m�dia geom�trica dessas duas novas fra��es continua sendo igual a
Aplicando sucessivamente o mesmo procedimento:
(Voc� observa algum parentesco entre essa lista de aproxima��es e a anterior, obtida por fra��es cont�nuas?)
Em decimais, as aproxima��es agora obtidas s�o, aproximadamente: |
|
O �ltimo valor j� � uma aproxima��o excepcional, e sua precis�o pode ser observada na curiosa desigualdade:
Generalizando, o processo consiste no seguinte: dado um n�mero
Vamos verificar agora que o processo funciona sempre. Em primeiro lugar, pelas propriedades das m�dias recordadas no in�cio, tem-se, para todo n:
Al�m disso: |
|
Isto �, os
Mais ainda, a seq��ncia crescente formada pelos
Se
Conclus�o: as seq��ncias de m�dias harm�nicas e aritm�ticas obtidas no processo formam aproxima��es cada vez melhores de
Podemos analisar agora o erro cometido nas aproxima��es.
Como
Sendo u uma aproxima��o por falta de
Essa desigualdade permite verificar que o erro decresce muito rapidamente, a partir do momento em que seja menor que 1, o que obrigatoriamente termina por ocorrer, j� que
Por exemplo, suponhamos que se queira calcular
N�o � interessante escolher agora a fatora��o
Mas se tomarmos a fatora��o
n |
|
|
|
|
0 | 6 | 19 | 13 | 4,225 |
1 |
|
| 3,38 | 0,285610 |
2 |
|
| 0,264209 | 0,001745 |
3 |
|
| 0,001634 | 0,000000 |
O �ltimo valor, na realidade, n�o � 0, e sim 0,00000007, aproximadamente, mas em todo caso mostra que as aproxima��es seguintes (por falta e por excesso) v�o coincidir at� as seis casas decimais que estamos usando. O leitor poder� comprovar que s�o iguais a 10,677078, o que corresponde a
Como
n |
|
|
|
0 | 10 | 11,4 | 1,4 |
1 | 10,654206 | 10,700000 | 0,045794 |
2 | 10,677054 | 10,677103 | 0,000049 |
3 | 10,677078 | 10,677078 | 0,000000 |
Se, na rela��o de recorr�ncia (1), se levar em conta que HnAn = M , obt�m-se:
Ou seja, cada aproxima��o por excesso obtida durante o processo � a m�dia aritm�tica entre a aproxima��o por excesso anterior An e M/An. De modo inteiramente an�logo, o leitor pode comprovar que cada aproxima��o por falta Hn+1 � a m�dia harm�nica entre a aproxima��o por falta anterior Hn e M/Hn. Isso significa que o processo descrito pela f�rmula (3) coincide com o conhecido �m�todo de Newton (1642-1727)� (ver [2], [4] e RPM 21, p�g.13).
Mais uma vez se constata que, ao estudar a hist�ria da Matem�tica, o professor pode extrair da� n�o somente epis�dios curiosos, mas tamb�m quest�es interessantes, que permitam a seus alunos investigar m�todos diferentes dos usuais, e igualmente instrutivos.
Refer�ncias bibliogr�ficas
[1] BOYER, Carl Boyer. Hist�ria da Matem�tica, Editora Edgar Blucher, 1974.
[2] CARNEIRO, Jos� Paulo Q. Resolu��o de equa��es alg�bricas, Editora Universidade Santa �rsula � 1998.
[3] CARNEIRO, Jos� Paulo Q. Um processo finito para a raiz quadrada, RPM 34, 1997.
[4] CARNEIRO, Jos� Paulo Q. Equa��es alg�bricas de grau maior que dois: assunto para o Ensino M�dio?, RPM 40, 1999.
[5] HARIK, Seiji. M�dia harm�nica, RPM 32, 1996.
[6] HEATH, T.L. The works of Archimedes, Dover, New York, 1897.
[7] LIMA, Elon Lages. Meu professor de Matem�tica e outras hist�rias, SBM, 1993.
[8] MOREIRA, Carlos Gustavo. Fra��es cont�nuas, representa��es de n�meros e aproxima��es, Eureka, no 3, 1998.
[9] OLDS, C.D. Continued fractions, The Mathematical Association of America, 1963.