Dada um círculo qualquer de raio r, sua área (A) será dada por: Show Vamos fazer alguns exemplos para entender a utilização da fórmula. Exemplo 1. Determine a área de um círculo de raio medindo 20 cm. (Use π = 3,14) Solução: Temos que r = 20 cmπ = 3,14 A = ?A = 3,14?202 A = 3,14?400A = 1256 cm2 Exemplo 2 . Calcule a área de um círculo de 30 cm de diâmetro. (Use π = 3,14) Solução: Temos d = 30 cm → r = d/2 → r = 15 cm A = ? A = 3,14?152 A = 3,14?225 A = 706,5 cm2Exemplo 3. Se um círculo possui a circunferência de 43,96 cm de comprimento, qual será o tamanho de sua área? (Use π = 3,14) Solução: Note que não temos a medida do raio do círculo. Através do comprimento que foi dado, vamos encontrar a medida do raio. A fórmula do comprimento da circunferência é: C = 2πr Assim, 43,96 = 2?3,14?r 43,96 = 6,28?r r = 43,96/6,28 r = 7 cm Conhecendo o valor do raio podemos calcular a área.A=3,14?72 A=3,14?49A=153,86 cm2 Exemplo 4 . Um fazendeiro possui 628 m de tela para fazer um galinheiro. Existem dois projetos para a realização desse galinheiro: um galinheiro quadrado e um galinheiro circular. O fazendeiro irá optar pelo projeto que possuir a maior área. Qual dos dois projetos é o que irá satisfazer sua vontade? (Use π = 3,14) Solução: Como o fazendeiro possui 628 m de tela para fazer o galinheiro, o perímetro do quadrado e da circunferência será de 628 m. Vamos então calcular a área de cada uma das figuras, usando a mesma quantidade de tela, e verificar qual dos projetos apresenta a maior área.Área do quadrado: Como o perímetro do quadrado é de 628 m, cada lado terá 157 m de comprimento. (628÷4) Assim,A = 1572 A = 24649 m2 Área da circunferência: Sabemos que o comprimento da circunferência também é 628 m, pois temos a mesma quantidade de tela. Precisamos encontrar a medida do raio dessa circunferência. C=2πr 628 = 2?3,14?r 628 = 6,28?r r = 628/6,28 r = 100 m Assim,A = 3,14?1002 A = 3,14?10000A = 31400 m2 Portanto, o galinheiro que terá a maior área será o de formato circular.
Quando medimos os lados de uma região, estamos determinando o valor do seu perímetro. No caso das regiões circulares não podemos adotar tal metodologia, pois não podemos definir a medida dos lados desse tipo de região. Para determinar a medida do comprimento de uma região circular, utilizamos a medida de seu raio, mas somente isso não é suficiente. Devido à relação comprimento/diâmetro nas regiões circulares, conseguimos descobrir um valor constante, aproximadamente igual a 3,14. Esse número irracional ficou conhecido por “pi”, o qual é representado pelo símbolo π. Em qualquer região circular basta dividirmos o comprimento da mesma, pela medida do diâmetro, que encontraremos o valor correspondente a 3,14 aproximadamente. Com base nessa descoberta, o comprimento de uma região limitada por uma circunferência é calculada através da expressão matemática C = 2 * π * r. Por exemplo, se uma região circular possui raio medindo 8 metros, seu comprimento será calculado da seguinte maneira: C = 2 * 3,14 * 8 C = 50,24 m A descoberta desse número constante, relacionado às regiões circulares, é atribuída ao matemático grego Arquimedes. Na fórmula, temos que: C: comprimento da região circular π: aproximadamente igual a 3,14 r: medida do raio da região circular Por Marcos Noé Graduado em Matemática Publicado por Marcos Noé Pedro da Silva
Muitos problemas envolvendo coisas ou objetos de forma circular se resumem ao cálculo do comprimento da circunferência. O comprimento C de uma circunferência pode ser calculado pela seguinte fórmula: Sendo r a medida do raio da circunferência. Para saber mais sobre esse assunto, confira uma lista de exercícios sobre comprimento da circunferência, todos resolvidos e com gabarito. Questão 1. Deseja-se pregar uma fita decorativa ao redor da tampa de um pote redondo. Se o diâmetro da tampa mede 12 cm, qual o comprimento mínimo que a fita deve ter para dar a volta completa na tampa? Questão 2. O contorno de uma peça circular tem 190 cm de comprimento. Qual a medida do diâmetro dessa peça? Questão 3. A roda de um ônibus tem 90 cm de raio. Que distância o ônibus terá percorrido quando a roda der 120 voltas? Questão 4. Qual é a área de um círculo cuja circunferência tem 40 metros de comprimento? Questão 5. Um círculo tem 18 cm² de área. Qual é o seu perímetro? Questão 6. A superfície de uma mesa é formada por um quadrado de lado igual a 2 m e dois semicírculos, um em cada lateral, conforme mostra a figura. Calcule o perímetro e a área da superfície da mesa. Resolução da questão 1A medida do contorno do pote corresponde ao comprimento de uma circunferência com diâmetro igual a 12 cm. Para calcular o comprimento, precisamos do raio. O raio de uma circunferência é igual à metade da medida do diâmetro, então, o raio é igual a 6 cm. Substituindo r por 6 e por 3,14, na fórmula do comprimento da circunferência, temos que: Como a medida do raio está em centímetros, o resultado do comprimento também será em centímetros. Logo, a fita deve ter no mínimo 75,36 centímetros de comprimento para dar a volta completa na tampa do pote. Resolução da questão 2Sabendo a medida do comprimento de uma circunferência, podemos determinar o valor do raio. Veja que substituindo C por 190 e por 3,14 na fórmula, temos que: Com a medida do raio, podemos determinar o diâmetro. Como a medida do comprimento foi dada em centímetros, então, o raio e o diâmetro calculados também estão em centímetros. Assim, o diâmetro da peça mede 60,48 cm. Resolução da questão 3Em cada volta que a roda dá, a distância percorrida é igual à medida do comprimento do contorno da roda. Assim, o que temos que fazer é calcular tal comprimento e depois multiplicar o valor obtido por 120, que é o número total de voltas. Substituindo r por 90 e por 3,14 na fórmula do comprimento, obtemos: Então, o comprimento do contorno da roda é igual a 565,2 cm. Vamos multiplicar por 120 para obter a distância percorrida: 565,2 × 120 = 67824 Até agora, utilizamos as medidas em centímetros, então, o resultado também está em centímetros. Para indicar a distância percorrida pelo ônibus, vamos fazer a transformação para metros: 67824 : 100 = 678,24 Portanto, a distância percorrida pelo ônibus foi de 678,24 metros. Resolução da questão 4A área do círculo depende da medida do raio. Para saber a medida do raio, vamos utilizar a informação do comprimento da circunferência: Agora, já podemos calcular a área do círculo: As medidas utilizadas estavam em metros, então, a área será em metros ao quadrado. Portanto, a área do círculo é igual a 127,4 m². Resolução da questão 5O perímetro de um círculo corresponde a medida do seu contorno, que é o comprimento da circunferência. O comprimento da circunferência depende do valor do raio. Para determinar esse valor, vamos utilizar a informação da área do círculo: Agora que já sabemos a medida do raio, podemos calcular o comprimento da circunferência: Portanto, o comprimento da circunferência (perímetro do círculo) é igual a 15,01 cm. Resolução da questão 6O perímetro corresponde a medida do contorno da figura. Assim, basta calcular o perímetro do círculo e somar com os dois lados do quadrado. Perímetro do círculo: O círculo tem diâmetro igual a 2 (é o lado do quadrado), logo, o raio é igual a 1. Pela fórmula do comprimento da circunferência, temos que: O que significa que o círculo tem 6,28 metros de perímetro. Perímetro da superfície da mesa: P = 6,28 + 2 + 2 P = 10,28 Logo, o perímetro da superfície da mesa mede 10,28 metros. Para o cálculo da área da superfície, o procedimento é semelhante. Calculamos a área do círculo e somamos com a área do quadrado. A área do quadrado de lado 2 m é igual a 4 m². Área do círculo de raio 1: Área da superfície da mesa: A = 4 + 3,14 = 7,14 Portanto, a área da superfície da mesa é igual a 7,14 m². Você também pode se interessar: |