Com a>0, n ∈ ℕ e m/n ∈ℚ
Exemplos:
5√2-3 = 2-3/5
35 =3 15/3 = 3 √(3 15)
2 –1/4 = (1/2)1/4 = 4√(1/2) ou 2-1/4 =4√2-1
Se 3 é um número real positivo e 2/4 é um número racional, com 2 e 4 inteiros definimos:
Exemplos
a) (2²⁾⁴ = ⁴√2²
b) (5³⁾⁴ = ⁴√5³
c) (7¹⁾² = √7
EXERCÍCIOS
1) Escreva em forma de potência com expoente fracionário:
a) ³√7² =
b) ⁵√a³ =
c) √10 =
d) ⁴√a³ =
e) √x⁵ =
f) ³√m =
2) Escreva em forma de radical:
a) 5³⁾⁴ =
b) 5¹⁾² =
c) a²⁾⁵ =
d) a¹⁾³ =
e) 2⁶⁾⁷ =
f) 6¹⁾² =
3) Resolva como os exemplos:
- Simplifique a expressão $latex {{16}^{{\frac{1}{2}}}}$.
Solução: Aplicando a regra dos expoentes fracionários, temos:
$latex {{16}^{{\frac{1}{2}}}}=\sqrt{{16}}$
$latex =4$
- Simplifique a expressão $latex {{4}^{{\frac{3}{2}}}}$.
Solução: Aplicando a regra dos expoentes fracionários, temos:
$latex {{4}^{{\frac{3}{2}}}}=\sqrt{{{{4}^{3}}}}$
Agora podemos aplicar o expoente à expressão que está dentro da raiz quadrada:
$latex =\sqrt{{4\times 4\times 4}}$
$latex =\sqrt{{64}}$
$latex =8$
- Simplifique a expressão $latex {{\left( {\frac{8}{{27}}} \right)}^{{\frac{4}{3}}}}$.
Solução: Nesse caso, podemos resolver o problema de uma maneira diferente. Notamos que 8 pode ser reescrito como $latex {{2}^3}$ e 27 pode ser reescrito como $latex {{3}^3}$:
$latex {{\left( {\frac{8}{{27}}} \right)}^{{\frac{4}{3}}}}={{\left( {\frac{{{{2}^{3}}}}{{{{3}^{3}}}}} \right)}^{{\frac{4}{3}}}}$
Agora podemos combinar a fração e elevar toda a fração à potência de 3 e depois simplificar:
$latex ={{\left[ {{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}}^{3}}} \right]}^{{\frac{4}{3}}}}$
$latex ={{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{4}}$
$latex =\frac{{16}}{{81}}$
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física
Uma potência com expoente fracionário ou, potência fracionária, é a que possui uma fração como expoente e um número real como base.
A potência
Como resolver uma potência fracionária
Para resolver uma potência com expoente fracionário, utilizamos a operação inversa, a radiciação. Isto significa transformar a potência fracionária em uma raiz.
A potência na forma de raiz fica: .
Para transformar uma potência com expoente fracionário em raiz, seguimos os passos:
- A base da potência se transforma na base do radicando (o número na raiz);
- O numerador da fração se transforma no expoente do radicando;
- O denominador se transforma no índice da raiz.
Exemplos de potências fracionárias transformadas em raízes:
Cálculo das potências com expoentes fracionários
Uma vez que a potência tenha sido transformada em raiz, devemos resolvê-la.
Exemplos:
Exercício de potências com expoente fracionário
Resolva as potências com expoente fracionário.
a)
b)
c)
d)
a) O 4 no denominador se transforma no índice da raiz, e o numerador da fração, o 2, no expoente do radicando.
Elevando 16 ao quadrado,
Fatorando o 256,
Na raiz,
Outra forma de começar o exercício é simplificando, quando possível, a fração do expoente.
Transformando em raiz,
b) Transformando a potência em fração:
Utilizando a propriedade de potências de mesma base, podemos fazer:
Separando os radicais,
c) Transformando em potência:
Fatorando o 625,
Substituindo na raiz,
d) Transformando a potência em raiz:
Podemos utilizar a propriedade de potências de mesma base, desta forma:
Desmembrando o radical,
Veja também:
Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.