A equação exponencial são os tipos de expressões matemáticas incógnitas (o x da questão). Essa fórmula algébrica foi desenvolvida pelo matemático francês René Descartes, no século XVII, representando um grande avanço científico para a época.
Para resolver equações exponenciais, é preciso, primeiramente, saber como solucionar equações do primeiro grau e entender como funcionam as potências.
O que são equações exponenciais
Antes de resolver qualquer equação de potenciação, lembre-se de saber denominar corretamente cada representação matemática, conforme indica a imagem:
- A base é o número que está embaixo;
- O expoente é o número que está elevado;
- O número de resultado é a potência.
No caso da equação exponencial, a incógnita deverá estar no expoente (número elevado). Desse modo, um exemplo de equação exponencial é:
4 x = 12 ou 3 y + 6 = 27
Como resolver uma equação exponencial – Passo a Passo
Exemplo de equação: 3 x = 27
1 – Observe a equação exponencial e lembre-se da regra número 1: a x = a y, ou seja, x =y. Em outras palavras, se as potências da mesma base são iguais, expoentes também serão;
2 – O número que deverá ir no expoente é aquele que multiplicado a quantidade de vezes do seu valor pela base resultará na potência (resultado). Portanto, nesse caso, o expoente seria 3, porque:
3 x = 33
3 x = 3 x 3 X 3
3 – Aqui, as bases são iguais, dessa forma, basta cortá-las para termos o resultado:
x = 3
Equação exponencial com bases diferentes – Como igualar?
Mas, e se as bases não forem iguais? Calma! Vamos repetir o passo a passo com outro exemplo:
Equação: 17 4x+1 = 1
1 – Sempre que tiver o número 1 de algum lado, que número elevar para chegar a número 1? Será o mesmo esquema que qualquer número elevado a 0. Por isso, a equação fica:
17 4x+1 = 170
2 – Conseguimos, agora, igualar as bases – mais uma vez bastará cortá-las:
4x + 1 = 0
4 x = – 1
x = -1/4
Se ainda não entendeu como igualar bases, confira mais exemplos no vídeo, abaixo:
Equação exponencial com fração
Quando há frações no denominador, é preciso pensar que potência pode ser substituída por aquela fração, como no exemplo, abaixo:
Exemplo de equação:
Sabe-se que a fração é a mesma coisa que 3-5. Portanto, podemos reescreve-la utilizando isso:
3x = 3 -5
Mais uma vez conseguimos igualar as bases, ou seja, é hora de cortá-las para encontrar o valor do x:
x = – 5
Equação exponencial com raiz quadrada
O princípio de solução de uma equação com raiz quadrada é o mesmo do que os demais, portanto, é necessário igualar as bases. Veja o exemplo:
Agora, precisamos fatorar a equação, ou seja, igualar as bases substituindo-as por novos números em potência, como:
Para igualar a raiz quadrada, é preciso aplicar as propriedades de radiação com a potenciação. Já aproveitamos, também, para multiplicar a base:
Agora que as bases estão igualadas, é possível cortá-las. Então, a equação fica:
Deve-se passar o 2 para o outro lado e a fração (divisão) torna-se sinal negativo, o que dá: -2 -2, ou seja, -4:
12 x +x = 56 – 2 – 2
12 x + x = 56- 4
Vê-se que x+x é o mesmo que acrescentar uma unidade à base. Por isso, a equação fica:
13 x = 52
Por fim, basta terminar de resolver a equação para chegar ao resultado:
x = 52/13
x = 4
Agora que você já aprendeu como resolver as equações exponenciais, treine bastante e converse com o seu professor para tirar eventuais dúvidas!
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física
A radiciação é a operação que usamos para encontrar um número que multiplicado por ele mesmo um determinado número de vezes, é igual a um valor conhecido.
Aproveite os exercícios resolvidos e comentados para tirar suas dúvidas sobre essa operação matemática.
Questão 1
Fatore o radicando de
Resposta correta: 12.
1º passo: fatorar o número 144
2º passo: escrever 144 na forma de potência
Observe que 24 pode ser escrito como 22.22, pois 22+2= 24
Portanto,
3º passo: substituir o radicando 144 pela potência encontrada
Neste caso temos uma raiz quadrada, ou seja, raiz de índice 2. Logo, como uma das propriedades da radiciação é podemos eliminar a raiz e resolver a operação.
Qual o valor de x na igualdade ?
a) 4 b) 6 c) 8
d) 12
Resposta correta: c) 8.
Observando o expoente dos radicandos, 8 e 4, podemos perceber que 4 é a metade de 8. Portanto, o número 2 é o divisor comum entre eles e isso é útil para descobrir o valor de x, pois segundo uma das propriedades da radiciação .
Dividindo o índice do radical (16) e o expoente do radicando (8), descobrimos o valor de x da seguinte forma:
Logo, x = 16 : 2 = 8.
Questão 3
Simplifique o radical .
Resposta correta: .
Para simplificar a expressão, podemos retirar da raiz os fatores que possuem expoente igual ao índice do radical.
Para isso, devemos reescrever o radicando de maneira que o número 2 apareça na expressão, já que temos uma raiz quadrada.
Substituindo os valores anteriores no radicando, temos:
Como , simplificamos a expressão.
Questão 4
Sabendo que todas as expressões são definidas no conjunto dos números reais, determine o resultado para:
a)
b)
c)
d)
Resposta correta:
a) pode ser escrito como
Sabendo que 8 = 2.2.2 = 23 substituímos o valor de 8 no radicando pela potência 23.
b)
c)
d)
Questão 5
Reescreva os radicais ; e de forma que os três apresentem o mesmo índice.
Resposta correta: .
Para reescrever os radicais com o mesmo índice, precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum entre eles.
MMC = 2.2.3 = 12
Portanto, o índice dos radicais deve ser 12.
Entretanto, para modificar os radicais precisamos seguir a propriedade .
Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 6, pois 6 . 2 = 12
Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 4, pois 4 . 3 = 12
Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 3, pois 3 . 4 = 12
Questão 6
Qual o resultado da expressão ?
a)
b)
c)
d)
Resposta correta: d) .
Pela propriedade dos radicais , podemos resolver a expressão da seguinte forma:
Racionalize o denominador da expressão .
Resposta correta: .
Para retirar o radical do denominador do quociente devemos multiplicar os dois termos da fração por um fator racionalizante, que é calculado subtraindo o índice do radical pelo expoente do radicando:
Sendo assim, para racionalizar o denominador o primeiro passo é calcular o fator.
Agora, multiplicamos os termos do quociente pelo fator e resolvemos a expressão.
Portanto, racionalizando a expressão temos como resultado .
Questão 8
Determine o diâmetro de uma esfera com volume igual a cm³.
Resposta: o diâmetro será de 6 cm.
O volume de uma esfera é calculado segundo a seguinte equação:
Em que R é o raio da esfera e, portanto, o diâmetro é igual a 2R.
R deve estar isolado em um membro da equação, de forma que:
Substituindo o valor de V, temos:
Para determinar o valor de R, aplicamos uma raiz cúbica nos dois membros da equação.
Portanto, o diâmetro da esfera será de 2R = 2.3 = 6 cm.
Questão 9
Sendo e determine o valor de .
Resposta:
Substituindo os valores de a e b na equação, temos:
Embora os índices das raízes sejam iguais, os radicando são diferentes. Devemos fatorar o 3 125.
Como o índice da raiz é 4, é conveniente escrever 3 125 na forma fatorada como ao invés de . Isto irá ajudar a simplificação.
Substituindo o 3 125 por sua forma fatorada no radicando, a expressão ficará:
Como dentro da raiz há um produto, podemos desmembrá-lo,
Cancelando o índice e o expoente igual e multiplicando 2 por 5,
Questão 10
Simplifique a expressão utilizando propriedades das raízes.
Resposta:
No numerador, as raízes possuem índices diferentes. Podemos multiplicar pelo mesmo fator tanto o índice quanto o expoente do radicando, afim de igualar os índices.
Ao multiplicar índice e expoente do radicando pelo mesmo fator, não alteramos a raiz.
Aplicando na expressão da questão:
Agora os índices são iguais e podemos multiplicar as raízes,
Devemos racionalizar a fração para não deixar um número irracional no denominador. Para isto, basta multiplicar tanto o denominador quanto o numerador pela raiz quadrada de três.
Repetindo o processo, podemos utilizar a mesma propriedade na raiz de três para igualar os índices das raízes.
Com os índices iguais, é possível multiplicar as raízes no numerador,
(IFSC - 2018) Analise as afirmações seguintes:
I.
II.
III. Efetuando-se , obtém-se um número múltiplo de 2.
Assinale a alternativa CORRETA.
a) Todas são verdadeiras. b) Apenas I e III são verdadeiras. c) Todas são falsas. d) Apenas uma das afirmações é verdadeira.
e) Apenas II e III são verdadeiras.
Alternativa correta: b) Apenas I e III são verdadeiras.
Vamos resolver cada uma das expressões para verificar quais são verdadeiras.
I. Temos uma expressão numérica envolvendo várias operações. Neste tipo de expressão, é importante lembrar que existe uma prioridade para efetuar os cálculos.
Assim, devemos começar com a radiciação e potenciação, depois a multiplicação e divisão e, por último, a soma e subtração.
Outra observação importante é com relação ao - 52. Se houvesse parênteses, o resultado seria +25, mas sem os parênteses o sinal de menos é da expressão e não do número.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
II. Para resolver essa expressão, iremos considerar as mesmas observações feitas no item anterior, adicionando que resolvemos primeiro as operações dentro dos parênteses.
Neste caso, a afirmação é falsa.
III. Podemos resolver a expressão utilizando a propriedade distributiva da multiplicação ou o produto notável da soma pela diferença de dois termos.
Assim, temos:
Como o número 4 é um múltiplo de 2, essa afirmação também é verdadeira.
Questão 12
(CEFET/MG - 2018) Se , então o valor da expressão x2 + 2xy +y2 – z2 é
a)
b)
c) 3
d) 0
Alternativa correta: c) 3.
Vamos começar a questão simplificando a raiz da primeira equação. Para isso, passaremos o 9 para a forma de potência e dividiremos o índice e o radicando da raiz por 2:
Considerando as equações, temos:
Como as duas expressões, antes do sinal de igual, são iguais, concluímos que:
Resolvendo essa equação, encontraremos o valor do z:
Substituindo esse valor na primeira equação:
Antes de substituir esses valores na expressão proposta, vamos simplificá-la. Note que:
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
Assim, temos:
Questão 13
(Aprendiz de Marinheiro - 2018) Se , então o valor de A2 é:
a) 1 b) 2 c) 6
d) 36
Alternativa correta: b) 2
Como a operação entre as duas raízes é a multiplicação, podemos escrever a expressão em um único radical, ou seja:
Agora, vamos elevar o A ao quadrado:
Como o índice da raiz é 2 (raiz quadrada) e está elevado ao quadrado, podemos retirar a raiz. Assim:
Para multiplicar, usaremos a propriedade distributiva da multiplicação:
Questão 14
(Aprendiz de Marinheiro - 2017) Sabendo que a fração é proporcional à fração , é correto afirmar que y é igual a:
a) 1 - 2
b) 6 + 3
c) 2 -
d) 4 + 3
e) 3 +
Alternativa correta: e)
Sendo as frações proporcionais, temos a seguinte igualdade:
Passando o 4 para o outro lado multiplicando, encontramos:
Simplificando todos os termos por 2, temos:
Agora, vamos racionalizar o denominador, multiplicando em cima e embaixo pelo conjugado de :
Questão 15
(CEFET/RJ - 2015) Seja m a média aritmética dos números 1, 2, 3, 4 e 5. Qual é a opção que mais se aproxima do resultado da expressão abaixo?
a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3
d) 1,4
Alternativa correta: d) 1,4
Para começar, iremos calcular a média aritmética entre os números indicados:
Substituindo esse valor e resolvendo as operações, encontramos:
Questão 16
(IFCE - 2017) Aproximando os valores de até a segunda casa decimal, obtemos 2,23 e 1,73, respectivamente. Aproximando o valor de até a segunda casa decimal, obtemos
a) 1,98. b) 0,96. c) 3,96. d) 0,48.
e) 0,25.
Alternativa correta: e) 0,25
Para encontrar o valor da expressão, iremos racionalizar o denominador, multiplicando pelo conjugado. Assim:
Resolvendo a multiplicação:
Substituindo os valores da raízes pelos valores informados no enunciado do problema, temos:
Questão 17
(CEFET/RJ - 2014) Por qual número devemos multiplicar o número 0,75 de modo que a raiz quadrada do produto obtido seja igual a 45?
a) 2700 b) 2800 c) 2900
d) 3000
Alternativa correta: a) 2700
Primeiro, vamos escrever 0,75 na forma de fração irredutível:
Iremos chamar de x o número procurado e escrever a seguinte equação:
Elevando ao quadrado ambos os membros da equação, temos:
Questão 18
(EPCAR - 2015) O valor da soma é um número
a) natural menor que 10 b) natural maior que 10 c) racional não inteiro
d) irracional.
Alternativa correta: b) natural maior que 10.
Vamos começar racionalizando cada parcela da soma. Para isso, iremos multiplicar o numerador e o denominador das frações pelo conjugado do denominador, conforme indicado abaixo:
Para efetuar a multiplicação dos denominadores, podemos aplicar o produto notável da soma pela diferença de dois termos.
S = 2 - 1 + 14 = 15
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Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.