Equação vetorial da reta exercícios resolvidos

O enunciado nos dá o ponto , pelo qual a reta que queremos descobrir passa e também nos diz que a reta tem a direção do vetor . Queremos saber quais as equações da reta que possui essas características. Equações? Como assim?

Calma!! Vamos devagar esquentando os motores!! haha..

Bom, uma reta pode ser representada por 4 equações diferentes: vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida. Tudo isso vimos na teoria, lembra?

Como o enunciado não especifica quais ele quer, então vamos assumir que ele quer as três primeiras, pois em geral, quando ele quiser a reduzida ele deve falar em função de qual coordenada a mesma deve ser escrita.

Já sabemos o que temos que encontrar e temos os dados que precisamos para achar as equações, afinal para determinar uma reta basta termos um ponto da reta e o seu vetor diretor!!

Vamos começar pela equação vetorial da reta, que possui esse jeitão:

Pela teoria, sabemos que são as coordenanadas do vetor diretor da reta que foi nos dado e é . Lembrando, que o vetor foi dado na base cartesiana, caso você não lembre:

Sabemos também que o ponto é um ponto que passa pela reta, que no nosso caso vale . Como é um ponto genérico pertencente à reta, então nele não mexemos. Assim, nossa equação vetorial da reta fica:

Pronto!! Primeira equação feita!!!

Agora, vamos escrever a equação paramétrica da reta. Essa equação, como vimos, é na verdade escrevermos a equação vetorial para cada uma das coordenadas, assim oh:

Então, temos tudo o precisamos, pois: e

Nossa equação paramétrica fica assim:

Para terminar, falta escrevermos a equação simétrica!! Ufa, está quase terminando!!

Para escrever as equações simétricas devemos escrever as equações paramétricas de forma a isolar o . Aí fica assim:

Mas, aqui temos que tomar um cuidado!! Se um dos valores ou for igual a zero, não poderemos escrever a equação simétrica nessa variável. Olha!!! Nosso vetor é . Ops!!! O , então só conseguiremos escrever na forma simétrica o e o , o devemos deixar na forma paramétrica mesmo. Então, ficará assim:

Antes de finalizarmos, só um detalhe no sinal!! Na expressão da equação paramétrica temos:

E no final, a nossa ficou , o menos ficou mais, porque o é , assim menos com menos ficou . O mesmo aconteceu com o .

Prontinho, então, agora temos as três equações que queríamos descobrir ;).

Equação Vetorial da reta:

Equação Paramétrica da Reta:

Equações Simétricas da Reta:

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2 Estudo de retas2 Estudo de retas3 Estudo de planos

Nesta seção, vamos desenvolver equações para a representação de retas no espaço tridimensional.

Figura 2.1: Ilustração de uma reta r em um sistema de coordenadas ortonormal.

Seja r uma reta dada, v→ um vetor paralelo a r e A um ponto de r (veja a Figura 2.2). Assim sendo, P=(x,y,z) é um ponto de r se, e somente se, o vetor A⁢P→ tem a mesma direção de v→. i.e. existe λ∈ℝ tal que

Esta é chamada equação vetorial da reta r.

Figura 2.2: Equação vetorial de uma reta.

Observe que para obtermos uma equação vetorial de uma dada reta, podemos escolher qualquer ponto A∈r e qualquer vetor v→∥r, v→≠0→. O vetor v→ escolhido é chamado de vetor diretor.

Seja r a reta que passa pelos pontos A=(-1,-1,-2) e B=(2,1,3) (veja a Figura 2.3). O vetor

v→=A⁢B→=(2-(-1)⁢,1-(-1)⁢,3-(-2))=(3,2,5)

(2.2)

é um vetor diretor de r. Desta forma, uma equação vetorial da reta r é

Figura 2.3: Esboço da reta discutida no Exemplo 2.1.1.

Seja r uma reta que passa pelo ponto A=(xA,yA,zA) e tenha vetor diretor v→=(v1,v2,v3). Da equação vetorial, temos que P=(x,y,z)∈r se, e somente se, existe λ∈ℝ tal que

Equivalentemente,

(x-xA,y-yA,z-zA)⏟A⁢P→=λ⁢(v1,v2,v3)⏟v→.

(2.5)

Então,

x-xA	=λ⁢v1,	(2.6)
y-yA	=λ⁢v2,	(2.7)
z-zA	=λ⁢v3,	(2.8)

donde

x	=xA+λ⁢v1,	(2.9)
y	=yA+λ⁢v2,	(2.10)
z	=zA+λ⁢v3,	(2.11)

as quais são chamadas de equações paramétricas da reta r.

A reta r discutida no Exemplo 2.1.1 tem equações paramétricas

x	=-1+3⁢λ,	(2.12)
y	=-1+2⁢λ,	(2.13)
z	=-2+5⁢λ.	(2.14)

De fato, tomando λ=0, temos (x,y,z)=(-1,-1,-2)=A∈r. E, tomado λ=1, temos (x,y,z)=(-1+3,-1+2,-2+5)=(2,1,3)=B∈r. Ou seja, as equações paramétricas acima representam a reta que passa pelos pontos A e B.

Com o Sympy, podemos plotar o gráfico de r usando o seguinte código:

var(’lbda’,real=True) plot3d_parametric_line(-1+3*lbda,-1+2*lbda,-2+5*lbda,(lbda,-1,2))

Seja r uma reta que passa pelo ponto A=(xA,yA,zA) e tem v→=(v1,v2,v3) como vetor diretor. Então, r tem as equações paramétricas

x	=xA+v1⁢λ,	(2.15)
y	=yA+v2⁢λ,	(2.16)
z	=zA+v3⁢λ.	(2.17)

Isolando λ em cada uma das equações, obtemos

λ	=x-xAv1,	(2.18)
λ	=y-yAv2,	(2.19)
λ	=z-zAv3.	(2.20)

Daí, temos

x-xAv1=y-yAv2=z-zAv3,

(2.21)

as quais são as equações da reta na forma simétrica.

No Exemplo 2.1.2, consideramos a reta r de equações paramétricas

x	=-1+3⁢λ,	(2.22)
y	=-1+2⁢λ,	(2.23)
z	=-2+5⁢λ.	(2.24)

Para obtermos as equações de r na forma simétrica, basta isolarmos λ em cada equação. Com isso, obtemos

Seja r a reta que passa pelo ponto A=(-1,-1,-2) e tem v→=(3,2,5) como vetor diretor. Determine o valor de x de forma que P=(x⁢,0,12) seja um ponto de r.

Da equação vetorial da reta r, temos que P=(x⁢,0,12) é um ponto de r se, e somente se, existe λ∈ℝ tal que

Ou seja,

(x-(-1)⁢,0-(-1),12-(-2))=λ⁢(3,2,5).

(2.27)

Ou, equivalentemente,

(x+1,1,52)=λ⁢(3,2,5).

(2.28)

Usando a segunda coordenada destes vetores, temos

	1=λ⋅2		(2.29)
	λ=12.		(2.30)

Assim, da primeira coordenada dos vetores, temos

	x+1=λ⋅3		(2.31)
	x+1=12⋅3		(2.32)
	x=32-1		(2.33)
	x=12.		(2.34)

Seja r a reta de equações paramétricas

x	=1-λ,	(2.35)
y	=λ,	(2.36)
z	=-3.	(2.37)

Determine uma equação vetorial de r.

Nas equações paramétricas de uma reta, temos que os coeficientes constantes estão associados a um ponto da reta. Os coeficientes do parâmetro λ estão associados a um vetor diretor. Assim sendo, das equações paramétricas da reta r, temos que

é um vetor diretor. Logo, temos que a reta r tem equação vetorial

com A=(1,0,3) e v→=(-1,1,0).

Sabendo que r é uma reta que passa pelos pontos A=(2,-3,1) e B=(-1,1,0), determine o valor de t tal que

x	=2+t⁢λ,	(2.41)
y	=-2+4⁢λ,	(2.42)
z	=1-λ,	(2.43)

sejam equações paramétricas de r.

Para que estas sejam equações paramétricas de r, é necessário que v→=(t⁢,4,-1) seja um vetor diretor de r. Em particular, v→∥A⁢B→. Logo, existe β∈ℝ tal que

	v→=β⁢A⁢B→		(2.44)
	(t⁢,4,-1)=β⁢(-1-2,1-(-3)⁢,0-1)		(2.45)
	(t⁢,4,-1)=β⁢(-3,4,-1).		(2.46)

Das segunda e terceira coordenadas, temos β=1. Daí, comparando pela primeira coordenada, temos

	t=-3⁢β		(2.47)
	t=-3.		(2.48)

Seja r uma reta de equações na forma simétrica

Determine equações paramétricas para esta reta e faça um esboço de seu gráfico.

Podemos obter equações paramétricas desta reta a partir de suas equações na forma simétrica. Para tanto, basta tomar o parâmetro λ tal que

λ	=x+12,	(2.50)
λ	=y-23,	(2.51)
λ	=1-z2.	(2.52)

Daí, isolando x, y e z em cada uma destas equações, obtemos

x	=-1+2⁢λ,	(2.53)
y	=2+3⁢λ,	(2.54)
z	=1-2⁢λ.	(2.55)

Para fazermos um esboço do gráfico desta reta, basta traçarmos a reta que passa por dois de seus pontos. Por exemplo, tomando λ=0, temos A=(-1,2,1)∈r. Agora, tomando λ=1, temos B=(1,5,-1)∈r. Desta forma, obtemos o esboço dado na Figura 2.4.

Figura 2.4: Esboço do gráfico da reta r do Exercício Resolvido 2.1.4.

Seja a reta que passa pelos pontos A=(1,-2,0) e B=(-1,-1,1). Determine: