Em uma circunferência, um ângulo central mede π 6 radianos Quanto mede esse ângulo em graus

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Na determinação dos arcos de uma circunferência podemos ter dois tipos de medições: a linear e a angular. A medida linear de um arco qualquer é a distância entre dois pontos A e B, postulados na extremidade da circunferência. Observe:

Com base na ilustração notamos que a medida do arco AB é igual à medida da reta EF (arco esticado), e a medida angular do arco AB corresponde à medida do ângulo central do arco, ou seja, a medida angular do arco AB é a mesma medida do ângulo central: m(AB) = m(AÔB). Para representar a medida angular de arcos de circunferência utilizamos as seguintes unidades: grau e radiano.

Graus

A medida em graus de uma circunferência consiste em dividi-lá em 360 partes congruentes entre si, dessa forma, cada parte equivalerá a um arco de medida igual a 1º (um grau). Se dividirmos esse arco de 1º em 60 partes teremos cada parte medindo 1’(um minuto) e esse arco de 1’ minuto dividido em 60 partes iguais formam arcos correspondentes a 1” (um segundo). Assim, concluímos que: 1º = 60’ e 1’= 60”.

Radianos

Outra unidade de medida de arcos muito usual é o radiano, que consiste no arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência que o contém. Por exemplo, um arco de 3 rad corresponde ao arco de comprimento igual a 3 raios da circunferência, veja:

Comprimento AB = 3r m(AB) = m(AÔB) = 3 rad
Ao dividirmos o comprimento do arco (l) de uma circunferência pelo seu raio (r), determinamos a medida do ângulo central em radianos.

Em uma circunferência, um ângulo central mede π 6 radianos Quanto mede esse ângulo em graus
Existe uma relação entre as medidas em grau e radiano, podemos destacar a seguinte relação:

360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28) 180º → π radiano (aproximadamente 3,14) 90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57)

45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785)

As medidas de arcos de circunferências em graus e em radianos são diretamente proporcionais, dessa forma podemos realizar as conversões utilizando uma regra de três simples:

Medida em graus

Medida em radianos

x

α

180

π

Exemplo: Faça as seguintes transformações: a) 100º em radianos

b) 7π/15 rad em graus

A medida de um ângulo é dada em graus e representada por um número seguido do símbolo “°”. Ela também pode ser relacionada a outros tipos de medidas, por exemplo a números reais e a radianos. Um ângulo é relacionado a um número real por meio das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente no ciclo trigonométrico.

Veja também: Quais são os três erros mais cometidos nos exercícios de trigonometria

Um ângulo é relacionado a radianos por meio do comprimento de arcos de circunferências. Por isso essa relação também pode ser feita no ciclo trigonométrico.

Definição de radiano

Dada uma circunferência de raio r e considerando um de seus arcos, cujo comprimento também é igual a r, dizemos que esse arco tem o comprimento igual a 1 rad (radiano).

Em outras palavras, 1 radiano é igual a um arco de medida r de uma circunferência cujo raio mede r. Sabendo que todo arco está relacionado a um ângulo central, as medidas em radianos também estarão.

A imagem a seguir mostra um círculo e o arco que possui medida igual a 1 rad.

Exemplo: Um círculo possui raio igual a 10 centímetros. Qual a medida, em radianos, do arco cujo comprimento é igual a 15 centímetros?

Para resolver esse problema, basta lembrar que 1 radiano é igual ao raio da circunferência. Nesse caso, o arco que possui 10 centímetros mede 1 radiano. Quanto medirá, nesse mesmo círculo, um raio que possui 15 centímetros? Para resolver esse problema, utilize regra de três:

 1  = 10
 x     15

10x = 15

x = 15
      10

x = 1,5 rad

Radianos em função de pi

É sempre possível relacionar um ângulo central a uma medida de um arco. Assim, sempre dá para associar um ângulo central a uma medida em radianos. Com o objetivo de relacionar o ângulo de 180°, por exemplo, a uma medida em radianos, usamos regra de três. Para tanto, lembre-se de que 180° é igual à meia circunferência, por isso seu comprimento é πr.

 1  =   r  
x      πr

xr = πr

x = π

Ou seja: 180° = π rad.

As medidas dos outros ângulos, dadas em radianos, podem ser todas obtidas a partir dessa relação, usando regra de três.

Com base nesse conhecimento, podemos concluir que existem π radianos em um semicírculo de 180°. Portanto, a medida do ângulo central relativo a 1 radiano é, para todo círculo ou circunferência, aproximadamente:

1 rad = 180° = 57,2958
π     

Leia também: como calcular seno e cosseno em triângulos que não são retângulos

Dada uma circunferência de centro O, raio r e dois pontos A e B pertencentes à circunferência, temos que a distância entre os pontos assinalados é um arco de circunferência. O comprimento de um arco é proporcional à medida do ângulo central, quanto maior o ângulo, maior o comprimento do arco; e quanto menor o ângulo, menor o comprimento do arco.

Em uma circunferência, um ângulo central mede π 6 radianos Quanto mede esse ângulo em graus

Para determinarmos o comprimento de uma circunferência utilizamos a seguinte expressão matemática: C = 2*π*r. A volta completa em uma circunferência é representada por 360º. Vamos realizar uma comparação entre o comprimento da circunferência em medida linear (ℓ) e medida angular (α), observe:

linear

angular

2*π*r

360º

 α

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Em uma circunferência, um ângulo central mede π 6 radianos Quanto mede esse ângulo em graus
  Essa expressão pode ser utilizada para determinar o comprimento do arco de uma circunferência de raio r e ângulo central α em graus. Nesses casos utilize π = 3,14.

Caso o ângulo central seja dado em radianos, utilizamos a seguinte expressão: ℓ = α * r.

Exemplo 1

Determine o comprimento de um arco com ângulo central igual a 30º contido numa circunferência de raio 2 cm.

ℓ = α * π * r / 180º ℓ = 30º * 3,14 * 2 / 180º ℓ = 188,40 / 180

ℓ = 1,05 cm

O comprimento do arco será de 1,05 centímetros.

Exemplo 2

O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 10 cm. Qual será o espaço percorrido pelo ponteiro após 30 minutos?

Veja a figura do relógio:

Em uma circunferência, um ângulo central mede π 6 radianos Quanto mede esse ângulo em graus

ℓ = α * π * r / 180º ℓ = 180º * 3,14 * 10 / 180º ℓ = 5652 / 180 ℓ = 31,4 cm O espaço percorrido pelo ponteiro dos minutos será de 31,4 centímetros.

Exemplo 3

Determine o comprimento de um arco com ângulo central medindo π/3 contido numa circunferência de 5 cm de raio.

ℓ = α * r ℓ = π/3 * 5 ℓ = 5π/3 ℓ = 5*3,14 / 3 ℓ = 15,7 / 3

ℓ = 5,23 cm

Exemplo 4

Um pêndulo de 15 cm de comprimento oscila entre A e B descrevendo um ângulo de 15º. Qual é o comprimento da trajetória descrita pela sua extremidade entre A e B?

Em uma circunferência, um ângulo central mede π 6 radianos Quanto mede esse ângulo em graus
ℓ = α * π * r / 180º ℓ = 15º * 3,14 * 15 / 180º ℓ = 706,5 / 180 ℓ = 3,9 cm

O comprimento da trajetória entre A e B é de 3,9 centímetros.

Por Marcos Noé Graduado em Matemática

Equipe Brasil Escola

Trigonometria - Matemática - Brasil Escola