Considerando que – 3 é uma das raízes do polinômio p(x) = 2x3 – 4kx + 24, então o valor de k é:

Teste os seus conhecimentos sobre polinômios por meio desta lista de exercícios, que apresenta gabarito comentado para você tirar suas dúvidas.

Questão 1

Considerando os polinômios p(x) = x³ + 5x² – 10 e q(x) = – x² + 6x + 4, o valor de p(2) : q(1) é:

A) 2

B) 5

C) 9

D) 15

E) 18

Questão 2

Analisando o polinômio 4x5 + 8x³ – x, podemos afirmar que o grau desse polinômio é igual a:

A) 4

B) 5

C) 8

D) 10

E) 12

Questão 3

Considere o polinômio P(x) = x³ + 2x² – 5x – 3. O valor da expressão |2 · P(1)| é:

A) 5

B) – 5

C) 0

D) – 10

E) 10

Questão 4

(Instituto Consulplan) Se R(x) é o resto da divisão do polinômio P(x) = x4 – 3x3 + 2x – 3 pelo polinômio D(x) = x + 1, então o valor de R(x) é:

A)

B) 1

C) – 1

D) – 2

Questão 5

Considerando que – 3 é uma das raízes do polinômio p(x) = 2x³ – 4kx + 24, então o valor de k é:

A) 1,0

B) 1,5

C) 2,0

D) 2,5

E) 3,0

Questão 6

(Imparh) Temos uma caixa no formato de um paralelepípedo retorretângulo com profundidade x − 1, comprimento x + 1 e largura x (em que x ≥ 1 é um número real). Qual polinômio expressa o volume, V(x), dessa caixa?

A) V(x) = x² − 1

B) V(x) = x³ − 1

C) V(x) = x³ − x

D) V(x) = x³ + 2x² +x

Questão 7

Qual deve ser o valor de k para que o polinômio P(x) = (k² – 81)x5 + (k – 9)x4 + kx³ + 3x² – 4x tenha grau 3?

A) – 1

B) 3

C) – 3

D) ± 9

E) 9

Questão 8

O polinômio que representa o perímetro do trapézio a seguir é:

A) 8x + 3

B) 11x

C) 4x² + 2

D) x² + 11

E) 11x – 3

Questão 9

Considerando os polinômios a seguir:

• X = 2x³ + 4x² + 2y² + 4

• Y = – 7x² + y² + 2

• Z = x³ – 2x² + y² + 3

O valor da soma X + Y – 2Z é igual a:

A) y² + 2x² + 2

B) 2x³

C) 2x³ + x² + y² – 3

D) x² + 4y² + 3

E) x² + y²

Questão 10

Analise as afirmativas a seguir:

I → O grau de um polinômio é dado pelo maior coeficiente de suas variáveis.

II → O valor numérico de P(x) = 3x² – 4x + 2 quando x = 2 é 6.

III → O polinômio p(x) = 4x³ + 2x² – 1 possui grau 4.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.

E) Todas as afirmativas são verdadeiras.

Questão 11

O perímetro do polígono a seguir pode ser expresso pelo seguinte polinômio:

A) 2x – 1

B) 8x + 4

C) 11x – 3

D) 10x + 4

E) x³ + 3

Questão 12

(Enem 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).

Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por

A) 2xy

B) 15 − 3x

C) 15 − 5y

D) −5y − 3x

E) 5y + 3x − xy

Resposta - Questão 1

Alternativa A

Calculando p(2):

p(2) = 2³ + 5 · 2² – 10

p(2) = 8 + 5 · 4 – 10

p(2) = 8 + 20 – 10

p(2) = 28 – 10

p(2) = 18

Calculando q(1):

q(1) = – 1² + 6 ⸳ 1 + 4

q(1) = – 1 + 6 + 4

q(1) = 9

A divisão entre p(2) e q(1) é então = 18 : 9 = 2.

Resposta - Questão 2

Alternativa B

O grau do polinômio é o maior expoente da sua variável, que, nesse caso, é igual a 5.

Resposta - Questão 3

Alternativa E

Calculando P(1):

P(1) = 1³ + 2 ⸳ 1² – 5 · 1 – 3

P(1) = 1 + 2 – 5 – 3

P(1) = – 5

Então, |2 P(1)| = |2 · (– 5)| = |– 10| = 10

Resposta - Questão 4

Alternativa C

Para encontrar o resto da divisão de P(x) por D(x), aplicaremos o teorema do resto de um polinômio, pois temos que:

D(x) = x + 1

x + 1 = 0

x = – 1

Agora, calculando P(– 1):

P(– 1) = (– 1)4 – 3(– 1)3 + 2(– 1) – 3

P(– 1) = 1 + 3 – 2 – 3

P(– 1) = – 1

Resposta - Questão 5

Alternativa D

Sabendo que – 3 é raiz dessa equação, então temos que:

p(– 3) = 2 (– 3)³ – 4 (– 3)k + 24

0 = 2 (– 27) + 12k + 24

0 = – 54 + 12k + 24

– 12k = – 54 + 24

– 12k = – 30

k = (– 30) : (– 12)

k = 2,5

Resposta - Questão 6

Alternativa C

Para encontrar o volume, multiplicamos as três dimensões:

V(x) = (x – 1) ( x + 1)x

V(x) = (x² – x + x – 1²)x

V(x) = (x² – 1)x

V(x) = x³ – x

Resposta - Questão 7

Alternativa E

Para que o polinômio seja de grau 3, temos que:

k – 9 = 0 e k² – 81 = 0.

Resolvendo a primeira equação, temos que:

k – 9 = 0

k = 9

Note que k = 9 também é solução da segunda equação, pois

9² – 81 = 0

81 – 81 = 0

0 = 0

Então, o único valor que faz com que esse polinômio seja de grau 3 é k = 9.

Resposta - Questão 8

Alternativa A

Calculando o perímetro:

P = 2x + 2 + 3x – 2 + 2x + x + 3

P = 8x + 3

Resposta - Questão 9

Alternativa E

Realizando a soma, temos que:

(2x³ + 4x² + 2y² + 4) + (– 7x² + y² + 2) – 2(x³ – 2x² + y² + 3)

2x³ + 4x² + 2y² + 4 – 7x² + y² + 2 – 2x³ + 4x² – 2y² – 6

Juntando os termos semelhantes, encontraremos:

x² + y²

Resposta - Questão 10

Alternativa B

• I → Falsa. O que define o grau de um polinômio é seu expoente, e não seu coeficiente.

• II → Verdadeira. Calculando:

P(2) = 3 · 2² – 4 ⸳ 2 + 2

P(2) = 3 · 4 – 8 + 2

P(2) = 12 – 8 + 2

P(2) = 6

• III → Falsa. O grau do polinômio é 3.

Resposta - Questão 11

Alternativa C

Calculando o perímetro, temos que:

P = 2x – 3 + x + 1 + 3x – 1 + 3x + 2 + 2x – 2

P = 11x – 3

Resposta - Questão 12

Alternativa E

A área perdida pode ser separada em três retângulos.

O primeiro retângulo, destacado em verde, tem área 5y, e o segundo retângulo, destacado em azul, tem área 3x. Note, porém, que existe uma região em comum tanto para o retângulo verde quanto para o retângulo azul, de área xy, que está sendo contada tanto na área do primeiro retângulo quanto na do segundo retângulo.

Por isso, a área perdida vai ser a soma da área do retângulo em verde com o retângulo em azul menos a área em comum.

5y + 3x – xy