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Só Exercícios © 2014-2021A condição de existência de um triângulo é um conjunto de relações entre as medidas de seus lados que possibilitam decidir se, com as medidas propostas, é possível construí-lo. Essa condição pode ser vista como uma propriedade e é conhecida como desigualdade triangular.
Condição de existência de um triângulo
Dados três segmentos de reta distintos, se a soma das medidas de dois deles é sempre maior que a medida do terceiro, então, eles podem formar um triângulo. Por exemplo, dados os segmentos AB = 16 cm, CD = 20 cm e EF = 30 cm, é possível usá-los para construir um triângulo, pois as somas abaixo são verdadeiras:
16 + 20 = 36 > 30
16 + 30 = 46 > 20
30 + 20 = 50 > 16
Observe o triângulo que foi formado com esses três segmentos na figura a seguir:
Se a soma entre os dois lados é igual ao terceiro, esse triângulonão pode existir. Além disso, as três desigualdades acima são conhecidas como desigualdade triangular.
Não é necessário fazer as três somas para verificar a possibilidade de um triângulo existir. Basta fazer a soma entre os dois lados menores. Se a soma entre eles for maior que o terceiro lado, então, a soma entre qualquer um deles e o terceiro lado (que é o maior) terá o mesmo resultado.
Exemplo: Um senhor deseja cercar um terreno triangular que possui e discute em uma loja que as dimensões do terreno são: 20 m x 15m x 5 m. Esse senhor mediu corretamente seu terreno?
A resposta é não. Como o terreno é triangular, se as medidas estivessem corretas, seria possível formar um triângulo. Entretanto, essas medidas não cumprem a desigualdade triangular:
20 + 15 = 35 > 5
20 + 5 = 30 > 15
15 + 5 = 20
Fundamentos da condição de existência
Suponha que uma pessoa queira demarcar uma parte de um terreno e possua apenas três varetas para isso. Ela resolve, então, que a marcação terá formato triangular e que os lados desse triângulo terão o mesmo comprimento das varetas. Sabendo que elas medem 2 metros, 3 metros e 4 metros, será possível construir esse triângulo?
A imagem a seguir foi feita para resolver esse problema e representa a fixação da vareta de 4 metros como base do triângulo. As extremidades das outras varetas foram presas às extremidades da base do triângulo e, em seguida, giradas as duas varetas a fim de que elas se encontrassem, como representado no esquema a seguir:
Para enxergar se as extremidades livres das varetas encontram-se de modo que o triângulo seja formado, observe a imagem abaixo, que contém a trajetória dessas extremidades.
As extremidades das varetas encontram-se no ponto A.
Imagine também a mesma situação anterior, só que com varetas medindo 5 metros, 1 metro e 2 metros. A trajetória das varetas é igual à imagem a seguir:
Na imagem acima, perceba que não existe possibilidade de fechar o triângulo com varetas que possuem essas medidas. Tendo em vista essas possibilidades, foi criada a noção de desigualdade triangular.
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
Sabemos que um triângulo é formado por três lados que possuem uma determinada medida, mas essas não podem ser escolhidas aleatoriamente como os lados de um quadrado ou de um retângulo, é preciso seguir uma regra. Só irá existir um triângulo se, somente se, os seus lados obedeceram à seguinte regra: um de seus lados deve ser maior que o valor absoluto (módulo) da diferença dos outros dois lados e menor que a soma dos outros dois lados. Veja o resumo da regra abaixo: | a - b | < c < a + b
| b - c | < a < b + c | a - c | < b < a + c
Com os três segmentos de reta medindo 5cm, 10cm e 9cm, podemos formar um triângulo?
Vamos aplicar a regra da condição de existência de um triângulo para todos os lados. |10 – 9| < 5 < 10 + 9 1 < 5 <19 (VERDADEIRO) |9 – 5| < 10 < 9 + 5 4 < 10 < 14 (VERDADEIRO) |5 – 10| < 9 < 10 + 5 5 < 9 < 15 (VERDADEIRO)Quando um lado não obedece à regra não é possível existir um triângulo.
Publicado por Danielle de Miranda
Os triângulos são extremamente famosos na matemática. Desde pequenos os estudamos e visualizamos, mas nem sempre nos preocupamos com detalhes mais profundos. Estudamos, por exemplo, a definição de triângulo, seus elementos, ângulos, perímetro e área. Mas, muitas vezes nos esquecemos de algo fundamental: a condição de existência de um triângulo.
Mas o que é essa tal condição de existência? Simplesmente é a condição que faz com que o triângulo exista. Mas ok, falar só isso não é suficiente, concorda?
O que é um triângulo
Sendo assim, antes de detalharmos o conteúdo mais específico dessa aula, é importante relembrar a definição de triângulo e seus elementos.
Dados três pontos A, B e C não colineares (que não pertencem à mesma reta), chamamos de triângulo a união dos segmentos
Os pontos A, B e C são chamados de vértice do triângulo, e os segmentos
A notação para este triângulo é ΔABC. Também podemos denotar esse triângulo de outras formas, por exemplo: ΔACB ou ΔBAC. Ou seja, a notação para o triângulo é um Δ seguido dos três vértices do triângulo, não importando a ordem dos mesmos.
Observe o triângulo representado na imagem em seguida.
Perceba na figura acima que o lado
E, assim, o triângulo da figura 1 pode ser representado da seguinte forma:
Em muitas questões, as letras a, b e c são substituídas por números. Esse valor numérico é a chamada medida do lado do triângulo. E qual a relevância deste fato?
O ponto chave aqui é o seguinte: a condição de existência de um triângulo recai sobre essas medidas dos lados do triângulo.
Lembre-se que no começo do texto falamos que a condição de existência é o que faz o triângulo existir. Então, o que vale destacar aqui é o seguinte: não é qualquer conjunto de medidas dos lados do triângulo que fazem com que ele exista.
Condições de existência do triângulo
Mas, afinal, o que significa um triângulo existir? Significa ser capaz de ser construído.
Dando mais ênfase: é extremamente necessário se atentar aos possíveis valores das medidas dos lados do triângulo se quisermos que, de fato, o triângulo seja formado.
Vamos ao que interessa então:
Em todo triângulo, a medida de cada lado dele deve ser menor que a soma das medidas dos outros dois lados.
Essa relação descrita acima é conhecida como desigualdade triangular. Soa familiar para você?
Ela pode ser lida também da seguinte forma: em todo triângulo, a soma das medidas de dois lados deve ser maior que a medida do terceiro lado.
Voltando ao nosso triângulo genérico de lados a, b e c, temos então que cada lado satisfaz o seguinte:
a < b + c
b < a + c
c < a + b
Ou seja, essas três desigualdades precisam ser satisfeitas para que o triângulo seja formado.
Essas três desigualdades formam, portanto, a condição de existência de um triângulo.
Exemplo 1
Imagine que temos os valores 1 u.c (unidade de comprimento), 2 u.c e 5 u.c. Será que com esses valores é possível formarmos um triângulo?
Suponhamos que os lados desse triângulo que tentamos formar sejam dados pelas letras a, b e c, tais que a = 1, b = 2 e c = 5. Se esses valores satisfizerem a condição de existência, é possível formarmos um triângulo. Caso contrário, não será possível formarmos um triângulo.
Em seguida, vamos ao teste:
a < b + c ⇒ 1 < 2 + 5 ⇒ 1 < 7
b < a + c ⇒ 2 < 1 + 5 ⇒ 2 < 6
c < a + b ⇒ 5 < 1 + 2 ⇒ 5 < 3
Perceba que a última desigualdade não é satisfeita e, por isso, não conseguimos formar o triângulo com essas medidas de lados.
Veja na imagem abaixo o que acontece se tentarmos formar um triângulo com essas medidas.
Se você não está convencido/a de que não é possível formar um triângulo com esses três valores, faça você mesmo/a em casa.
Pegue um pedaço de papel e desenhe nele um segmento de reta. Faça esse segmento de reta ser a sua unidade de comprimento. Depois desenhe 2 unidades de comprimento e, por fim, desenhe 5 unidades de comprimento. No final, tente rotacionar seus comprimentos criados e verifique que eles não formarão um triângulo.
Exemplo 2
Agora, por outro lado, imagine que temos os valores 3 u.c, 3 u.c e 4 u.c. Será que com essas medidas é possível formarmos um triângulo?
Suponhamos agora que a = 3, b = 3 e c = 4. Vamos tentar formar o triângulo verificando a condição de existência:
a < b + c ⇒ 3 < 3 + 4 ⇒ 3 < 7
b < a + c ⇒ 3 < 3 + 4 ⇒ 3 < 7
c < a + b ⇒ 4 < 3 + 3 ⇒ 4 < 6
Como as desigualdades foram satisfeitas, conseguimos, então, formar um triângulo com essas medidas de lados, conforme ilustrado na imagem abaixo.
Observação: se você esbarrar em alguma desigualdade que faça com que ocorra, por exemplo, , a desigualdade, nesse caso, também não será satisfeita. Isso porque, na matemática, nenhum número é menor que ele mesmo.
Fique ligado(a): as figuras são meramente ilustrativas de triângulos. Não se prenda a desenhos perfeitos, pois muitas vezes o desenho do exercício não condiz com os valores dados nos enunciados.
Videoaula
Por fim, acompanhe a aula do professor Lucas para entender melhor o que é a desigualdade triangular:
Exercícios sobre a condição de existência de um triângulo
Agora que já sabemos tudo isso, vamos praticar? Resolva os exercícios em seguida:
Questão 01 – (IFPE – 2017)
Um Técnico em mecânica pretende construir cinco triângulos cujos lados devem ter as seguintes medidas:
I. 10 cm; 8 cm; 6 cm;
II. 9 cm; 15 cm; 12 cm;
III. 12 cm; 15 cm; 12 cm;
IV. 9 cm; 8 cm; 4 cm;
V. 10 cm; 10 cm; 21 cm.
Podemos afirmar que o técnico obteve triângulo apenas nos casos
a) I, II, III e IV.
b) I, II e V.
c) I, II e IV.
d) I, II, IV e V.
e) III, IV e V.
Questão 02 – (FGV – 2019)
Um triângulo tem um lado medindo 9 cm e outro medindo 7 cm.
Sabendo que a medida do terceiro lado é expressa por um número inteiro de centímetros, quantos possíveis valores existem para esse lado?
a) 14
b) 12
c) 13
d) 11
e) 15
Questão 03 – (IBMEC SP Insper – 2008)
A desigualdade triangular é um princípio da geometria que estabelece o seguinte:
“Qualquer lado de um triângulo é sempre menor do que a soma dos outros dois”.
Considere que A, B, C e D são vértices de um quadrilátero. Se é uma das diagonais desse quadrilátero, a única afirmação que não é necessariamente verdadeira é:
a) AC<AB+BC.
b) AC<AD+DC.
c) AB<AC+BC.
d) DC<AC+DC.
e) DC<AB+BC.
Gabarito: