Você está em Ajuda > Dúvidas frequentes O melhor método para calcular a raiz quadrada é decompor o número em seus fatores primos. Por exemplo: RAIZ de 64. Decompomos o 64 seus fatores primos: 64 | 2 32 | 2 16 | 2 8 | 2 4 | 2 2 | 2 1 Logo 64 é igual a 26. Dividimos o expoente 6 pelo expoente da raiz quadrada (que é 2), e retiramos o número da raiz.  Portanto, raiz de 64 é igual a 8. Saiba mais sobre decomposição em fatores primos. << Voltar para Dúvidas Frequentes Como referenciar: "Como se calcula raiz quadrada "na mão"?" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2022. Consultado em 31/08/2022 às 03:11. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/faq/raiz.php
Uma das mais usuais raízes na radiciação é a raiz quadrada. É muito comum encontrá-la em exercícios, dos mais diversos conteúdos da matemática. Podemos definir que a raiz quadrada de um número “n” é um número não negativo. Este número, por sua vez, quando multiplicado por si próprio, é igual a “n”. \(\sqrt[2]{n}=a\) , com “n” e “a” \(\geq n=a^{2}\) Na raiz acima, temos o radical \(\sqrt{ }\), o índice do radical (que no caso da raiz quadrada será sempre igual a 2) e o radicando (número “n”). Quando nos deparamos com uma raiz quadrada, é comum observarmos que o índice 2 não é escrito na raiz. Isso se justifica porque ficou definido na matemática que quando se trata de uma raiz quadrada, não há a necessidade de indicar o índice 2. Vamos ver alguns exemplos:
É importante ressaltar que, mesmo que os números negativos -2 e -3 satisfaçam as expressões \((-2)^{2}=4\) e \((-3)^{2}=9\), eles não devem ser admitidos como respostas válidas, a fim de que a concepção geométrica do símbolo radical não seja contrariada. Neste sentido, a expressão \(\sqrt{25}=\pm 5\), por exemplo, está errada! O correto seria \(\sqrt{25}=5\). Note que esta situação é diferente de \(x^{2}=25\), pois nesse caso, temos uma equação quadrática, onde o “x” pode, sim, assumir tanto o valor de 5, quanto o valor de -5. A raiz quadrada pode ser manipulada de algumas formas que podem nos ajudar a resolver determinados exercícios, vamos ver como isso funciona! Atenção! As propriedades a seguir podem ser vistas com maiores detalhes no tópico de radiciação! A raiz quadrada pode ser modificada das seguintes maneiras quando estamos tratando com divisão e multiplicação: \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \qquad \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\) Contudo, quando estamos operando com soma e subtração, note que as expressões a seguir são diferentes: \(\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b} \qquad \sqrt{a-b}\neq \sqrt{a}-\sqrt{b}\) Assim, é preciso tomar cuidado com as raízes, a fim de que não seja feito algum cálculo errado envolvendo elas. Caso uma raiz quadrada esteja dentro de outra raiz quadrada, basta multiplicarmos o índice 2 das duas raízes para obtermos somente uma raiz: \(\sqrt[2]{\sqrt[2]{a}}=\sqrt[2\cdot 2]{a}=\sqrt[4]{a}\) Muitos exercícios demandam que o aluno saiba como transformar um valor em radiciação para potenciação. Vamos ver como se dá esse processo (não se preocupe, é bem fácil!). \(\sqrt{x^{p}}=x^{\frac{p}{2}}\) Tranquilo, né? Essa é a relação entre as duas operações matemáticas. Para ficar mais fácil de lembrar, pense que o número que está “fora” na raiz fica “dentro” na potência (neste caso, o 2) e o número que está “dentro” na raiz fica “fora” na potência (neste caso, o “p”). Em muitas situações, você vai se deparar com uma raiz cujo resultado não é encontrado mentalmente e de forma fácil (como é o caso das raízes \(\sqrt{4}, \sqrt{9}, \sqrt{25}\) por exemplo). Dessa forma, é interessante saber calcular o valor da raiz quadrada a fim de que você consiga resolver completamente os exercícios. Assim, o passo a passo do cálculo da raiz é: 1º passo: Dividir seu radicando somente por números primos até obter o número 1. Como exemplo, vamos usar \(\sqrt{400}\).
2º passo: Multiplicar de dois em dois os números de mesmo valor: Obs. 1: Caso fosse raiz cúbica, multiplicar de três em três e assim por diante.
Obs. 2: Caso algum número primo “n” estivesse sozinho, ou seja, não fosse possível multiplicar ele com outro número de mesmo valor, adotar ele como raiz de “n”. Exemplo: \(\sqrt{10}\).
Muitos alunos se perguntam o porquê de aprender sobre radiciação e raízes quadradas, enquanto eles não sabem o quão importante é este instrumento. As raízes são utilizadas nos mais diversos cálculos matemáticos, desde o Teorema de Pitágoras, passando pelas equações de segundo grau (com Bhaskara) até em problemas de engenharia, onde diversas fórmulas envolvem raízes. Nesse sentido, prova-se a relevância desta operação. É importante lembrar que todo estudo tem alguma função e, com as raízes, não é diferente!
Exercício de fixação UEMA O valor da raiz quadrada \(\sqrt[2]{0,444...}\) é:
Radiciação é a operação que realizamos quando queremos descobrir qual o número que multiplicado por ele mesmo uma determinada quantidades de vezes dá um valor que conhecemos. Exemplo: Qual é o número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dá como resultado 125? Por tentativa podemos descobrir que: 5 x 5 x 5 = 125, ou seja, Escrevendo na forma de raiz, temos: Portanto, vimos que o 5 é o número que estamos procurando. Símbolo da RadiciaçãoPara indicar a radiciação usamos a seguinte notação: Sendo, n é o índice do radical. Indica quantas vezes o número que estamos procurando foi multiplicado por ele mesmo. Exemplos de radiciação: (Lê-se raiz quadrada de 400) (Lê-se raiz cúbica de 27) (Lê-se raiz quinta de 32) Propriedades da RadiciaçãoAs propriedades da radiciação são muito úteis quando necessitamos simplificar radicais. Confira a seguir. 1ª propriedade: Já que a radiciação é a operação inversa da potenciação, todo radical pode ser escrito na forma de potência. Exemplo: 2ª propriedade: Multiplicando-se ou dividindo-se índice e expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera. Exemplos: 3ª propriedade: Na multiplicação ou divisão com radiciais de mesmo índice realiza-se a operação com os radicandos e mantém-se o índice do radical. Exemplos: 4ª propriedade: A potência da raiz pode ser transformada no expoente do radicando para que a raiz seja encontrada. Exemplo: Quando o índice e a potência apresentam o mesmo valor: . Exemplo: 5ª propriedade: A raiz de uma outra raiz pode ser calculada mantendo-se o radicando e multiplicando-se os índices. Exemplo: Radiciação e PotenciaçãoA radiciação é a operação matemática inversa da potenciação. Desta forma, podemos encontrar o resultado de uma raiz buscando a potenciação, que tem como resultado a raiz proposta. Observe: Note que se o radicando (x) é um número real e o índice (n) da raiz é um número natural, o resultado (a) é a raiz enésima de x se an = x. Exemplos: , pois sabemos que 92 = 81 , pois sabemos que 104 = 10 000 , pois sabemos que (–2)3 = –8 Saiba mais lendo o texto Potenciação e Radiciação. Simplificação de RadicaisMuitas vezes não sabemos de forma direta o resultado da radiciação ou o resultado não é um número inteiro. Neste caso, podemos simplificar o radical. Para fazer a simplificação devemos seguir os seguintes passos:
Exemplo:Calcule 1º passo: transformar o número 243 em fatores primos 2º passo: inserir o resultado, na forma de potência, dentro da raiz 3º passo: simplificar o radical Para simplificar, devemos dividir o índice e o expoente da potenciação por um mesmo número. Quando isso não for possível, significa que o resultado da raiz não é um número inteiro. , note que ao dividir o índice por 5 o resultado é igual a 1, desta forma cancelamos o radical. Assim, . Veja também: Simplificação de radicais Racionalização de DenominadoresA racionalização de denominadores consiste em transformar uma fração, que apresenta um número irracional no denominador, em uma fração equivalente com denominador racional. 1º caso – raiz quadrada no denominador Neste caso, o quociente com o número irracional no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante . 2º caso – raiz com índice maior que 2 no denominador Neste caso, o quociente com o número irracional no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante , cujo expoente (3) foi obtido pela subtração do índice (5) do radical pelo expoente (2) do radicando. 3º caso – adição ou subtração de radicais no denominador Neste caso, utilizamos o fator racionalizante para eliminar a radical do denominador, pois . Operações com RadicaisSoma e SubtraçãoPara somar ou subtrair devemos identificar se os radicais são semelhantes, ou seja, se apresentam índice e radicando iguais. 1º caso – Radicais semelhantes Para somar ou subtrair radicais semelhantes, devemos repetir o radical e somar ou subtrair seus coeficientes. Veja como fazer: Exemplos: 2º caso – Radicais semelhantes após simplificação Neste caso, devemos inicialmente simplificar os radicais para se tornarem semelhantes. Depois, faremos como no caso anterior. Exemplo I: Portanto, . Exemplo II: Portanto, . 3º caso – Radicais não são semelhantes Calculamos os valores dos radicais e depois efetuamos a soma ou a subtração. Exemplos: (valores aproximados, pois a raiz quadrada de 5 e de 2 são números irracionais) Multiplicação e Divisão1º caso – Radicais com mesmo índice Repete a raiz e realiza a operação com os radicandos. Exemplos: 2º caso – Radicais com índices diferentes Primeiro, devemos reduzir ao mesmo índice, depois realizar a operação com os radicandos. Exemplo I: Portanto, . Exemplo II: Portanto, . Saiba também sobre
Exercícios resolvidos sobre radiciaçãoQuestão 1Calcule os radicais a seguir. a) b) c) d)
Resposta correta: a) 4; b) -3; c) 0 e d) 8. a) b) c) a raiz do número zero é o próprio zero. d) Questão 2Resolva as operações abaixo utilizando as propriedades da radiciação. a) b) c) d)
Resposta correta: a) 6; b) 4; c) 3/4 e d) 5√5. a) Por se tratar da multiplicação de radicais com o mesmo índice utilizamos as propriedades Portanto, b) Por se tratar do cálculo da raiz de uma raiz utilizamos a propriedade Portanto, c) Por se tratar da raiz de uma fração utilizamos a propriedade Portanto, d) Por se tratar da soma e subtração de radicais semelhantes utilizamos a propriedade Portanto, Veja também: Exercícios sobre simplificação de radicais Questão 3(Enem/2010) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são: ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científico Baseado em Evidências. Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, no 1, 2002 (adaptado). Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2 , então ela possui RIP igual a a) 0,4 cm/kg1/3
Resposta correta: e) 40 cm/kg1/3. 1º passo: calcular a altura, em metros, utilizando a fórmula do IMC. 2º passo: transformar a unidade da altura de metros para centímetros. 3º passo: calcular o Recíproco do Índice Ponderal (RIP). Portanto, uma menina, com 64 kg de massa, apresenta RIP igual a 40 cm/kg1/3. (Enem/2013 - Adaptado) Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”. HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado). Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão: a)
Resposta correta: d) . A relação entre as grandezas “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M” pode descrita da seguinte forma: , sendo k a constante de proporcionalidade. A área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão: Através da propriedade reescrevemos a área S. , conforme a alternativa d. |
Como resolver raiz quadrada de raiz quadrada
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