A radiciação, assim como todas as operações do conjunto dos números reais, possui seu inverso, ou seja, quando pegamos um elemento e operamos com seu inverso, o resultado é igual ao elemento neutro.
A adição possui a subtração como operação inversa, a multiplicação possui a divisão como operação inversa, e a potenciação também vai possuir sua operação inversa, que é denominada de radiciação.
Como as demais operações, a radiciação também possui uma série de propriedades, vejamos.
Representação da radiciação
A radiciação é uma operação em que buscamos um número que satisfaz determinada potência. Considere os números a e b números reais e n um número racional, definimos a raiz n-ésima de a como sendo um número que, quando elevado a n, seja igual ao número a, nesse caso, representado por b, ou seja:
Exemplos
a) A raiz quadrada de 36 é igual a 6, pois 62 = 36.
Veja que, para determinar a raiz quadrada de 36, devemos buscar um número que, quando elevamos ao quadrado, seja igual a 36. Logicamente, esse número é o 6.
b) A raiz cúbica de 125 é igual 5, pois 53 = 125.
c) Agora vejamos a raiz décima de 1024. Como não se trata de um número trivial, a melhor saída é realizar a decomposição em fatores primos do 1024 e, em seguida, escrevê-lo na forma de potência.
Veja que o número 1024 = 210, assim o número que, elevado a 10º potência, resulta em 1024 é o número 2, ou seja:
Nomenclatura da radiciação
Considerando a raiz n-ésima anterior, temos a seguinte nomenclatura:
a → Radicando
n → índice
b → raiz
√ → Radical
Propriedades da radiciação
Assim como na potenciação, temos algumas propriedades na radiciação. Nesta a história é a mesma, uma vez que ambas são operações inversas.
Propriedade 1: Raiz em que o expoente do radicando é igual ao índice
A propriedade 1 afirma que, sempre que o índice for igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz n-ésima é a própria base.
Exemplos
Propriedade 2: Potência de expoente radical
A propriedade 2, na verdade, é uma propriedade de potenciação em que o expoente é uma fração. O numerador da fração passa a ser o expoente do radicando, e o denominador passa a ser o índice da raiz. Veja um exemplo:
Leia também: Potências de base 10 — o fundamento da notação científica
Propriedade 3: Produto de raízes de índices iguais
A propriedade 3 afirma que o produto entre duas raízes com índices iguais é igual à raiz de mesmo índice do produto dos radicandos.
Propriedade 4: Quociente de raízes de índices iguais
De maneira análoga à propriedade 3, a propriedade 4 afirma que a divisão entre duas raízes de índices iguais é igual à raiz de mesmo índice da divisão dos quocientes.
Veja também: Raiz quadrada: a radiciação com o índice 2
Propriedade 5: Potência de uma raiz
A propriedade 5 diz-nos que uma raiz n-ésima elevada a um determinado expoente m é igual à raiz n-ésima do radicando elevado ao expoente.
Propriedade 6: Raiz de outra raiz
Quando nos depararmos com uma raiz de outra raiz, basta conservar o radicando e multiplicar os índices das raízes.
Propriedade 7: Simplificação de raízes
A propriedade 7 afirma que, em uma raiz n-ésima de uma potência, podemos multiplicar o índice e o expoente do radicando por qualquer número desde que seja diferente de 0.
Acesse também: Redução de radical ao mesmo índice
Exercícios resolvidos
Questão 1 – Determine a raiz quadrada de 1024.
Solução
No exemplo do texto, temos a fatoração do número 1024, que é dada por:
1024 = 210
1024 = 2 (5 · 2)
1024 = (25)2
Portanto, a raiz quadrada de 1024 é:
Questão 2 – (Enem) A pele que recobre o corpo dos animais tem participação ativa na manutenção da temperatura corporal, na eliminação de substâncias tóxicas geradas pelo próprio metabolismo do corpo e na proteção contra as agressões do meio exterior.
A expressão algébrica seguinte relaciona a massa (m) em kg de um animal com a sua medida (A) de superfície corporal em m2, e k é uma constante real.
A constante real k varia de animal para animal, segundo a tabela:
Animal | Homem | Macaco | Gato | Boi | Coelho |
Constante K | 0,11 | 0,12 | 0,1 | 0,09 | 0,1 |
Considere um animal com 27 kg de massa e uma área corporal de 1,062 m2.
Segundo a tabela apresentada no enunciado, é mais provável que esse animal seja um:
a) homem.
b) macaco.
c) gato.
d) boi.
e) coelho.
Solução
Alternativa b
Substituindo os dados na fórmula dada no enunciado e escrevendo 27 = 33, temos:
Portanto, é mais provável que o animal em questão seja o macaco.
Por Robson Luiz
Professor de Matemática
A raiz quadrada de 3 é, aproximadamente, 1,732....Etapas para calcular a raiz quadrada de um número:
- Decompor esse número em fatores primos;
- Agrupar os fatores primos de forma que a multiplicação seja entre dois números iguais.
- Os números utilizados na multiplicação são equivalentes a raiz quadrada.
Como fazer multiplicação e divisão de raízes?
Multiplicação e Divisão Repete a raiz e realiza a operação com os radicandos. Primeiro, devemos reduzir ao mesmo índice, depois realizar a operação com os radicandos.
Como racionalizar uma fração com raiz?
Racionalização de Denominadores com uma Raiz Quadrada
- Para racionalizar frações com denominadores que são raízes quadradas, devemos multiplicar toda a fração pela mesma raiz quadrada do denominador. ...
- Nesse caso, dizemos que √2 é o fator racionalizante da fração.
Como resolver Fracao com raiz no numerador?
Para racionalizar uma fração, multiplique numerador e denominador pelo radical presente no denominador. Observe o exemplo: Repare no exemplo acima que a fração com radical no denominador foi simplificada e o resultado é apenas raiz de 3.
Como encontrar a raiz quadrada de 49?
Para encontrar Raiz quadrada de qualquer número devemos sempre procurar um número multiplicado por ele mesmo para dá o resultado desejado. A Raiz quadrade de 49 é 7 pois 7*7 resulta em 49.
Porque a raiz quadrada de 49 é 7?
A raiz quadrada de 49 é 7, pois se multiplicarmos 7 por 7 obtemos esse número.
Qual é a raiz quadrada de 7?
Isso porque o quadrado de um número é indicado pelo produto desse mesmo número duas vezes, ou seja, x² = x . x. Assim, a raiz aproximada de sete é 2,6.
Qual é a raiz quadrada de menos 49?
Um número negativo não tem raiz quadrada. Mas se fosse √-(-49) existiria.
Qual é a raiz de 81?
A raiz quadrada de 81 é igual a 9.
A raiz quadrada de um número é a operação inversa da potenciação de números com expoente igual a 2. Assim, temos que:
√9 = 3, pois 3² = 9
√36 = 6, pois 6² = 36
36 = 2 * 2 * 3 * 3
225 = 3 * 3 * 5 * 5
64 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2
25 = 5 * 5 As fatorações auxiliam na decomposição de um número, o que facilita o cálculo da raiz quadrada na obtenção de resultados satisfatórios.
Publicado por Marcos Noé Pedro da Silva