Como resolver expressão dentro da raiz quadrada

Expressões numéricas são sequências de duas ou mais operações que devem ser realizadas respeitando determinada ordem.

Para encontrar sempre um mesmo valor quando calculamos uma expressão numérica, usamos regras que definem a ordem que as operações serão feitas.

Ordem das operações

Devemos resolver as operações que aparecem em uma expressão numérica, na seguinte ordem:

1º) Potenciação e Radiciação 2º) Multiplicação e Divisão

3º) Soma e Subtração

Se a expressão apresentar mais de uma operação com a mesma prioridade, deve-se começar com a que aparece primeiro (da esquerda para a direita).

Confira abaixo três exemplos de expressões numéricas com potência, raiz quadrada e frações.

a) 87 + 7 . 85 - 120 = 87 + 595 - 120 =

682 - 120 = 562

b) 25 + 6 2 : 12 - √169 + 42 = 25 + 36 : 12 - 13 + 42 = 25 + 3 - 13 + 42 = 28 - 13 + 42 =

15 + 42 = 57

Saiba mais sobre Frações.

Usando símbolos

Nas expressões numéricas usamos parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { } sempre que for necessário alterar a prioridade das operações.

Quando aparecer esses símbolos, iremos resolver a expressão da seguinte forma:

1º) as operações que estão dentro dos parênteses 2º) as operações que estão dentro dos colchetes

3º) as operações que estão dentro das chaves

Exemplos

a) 5 . ( 64 - 12 : 4 ) = 5 . ( 64 - 3 ) =

5 . 61 = 305

b) 480 : { 20 . [ 86 - 12 . (5 + 2 ) ] 2 } =
480 : { 20 . [ 86 - 12 . 7 ] 2 } =
480 : { 20 . [ 86 - 84 ] 2 } =
480 : { 20 . [ 2 ] 2 } = 480 : { 20 . 4 } =

480 : 80 = 6

c) - [ - 12 - ( - 5 + 3 ) ] = - [ - 12 - ( - 2 ) ] = - [ - 12 + 2 ] =

- [ - 10] = + 10

Para saber mais, veja também:

• Expressões Algébricas
• Potenciação
• Raiz Quadrada

Exercícios resolvidos sobre expressões numéricas

Questão 1

Ana foi ao mercado e levou para pagar suas compras uma nota de 100 reais. A quantidade e o preço dos produtos comprados por ela estão indicados no quadro abaixo.

Com base nessas informações, indique o que se pede:

a) Escreva uma única expressão numérica para calcular o valor do troco que Ana receberá ao fazer as compras.

b) Calcule o valor do troco recebido por Ana.

Questão 2

Resolva as expressões numéricas

a) 174 + 64 x 3 - 89 =

b) 33 + 23 - 3 x 2 =

c) 378 - 52 . √400 : √25 =

Saiba mais sobre Radiciação.

Questão 3

Encontre o valor das expressões numéricas abaixo

a) 900 - 4 . 2 . ( 3 + 5 ) =

b) 24 + [ 25 . ( 23 - 22 ) ] =

c) 1440 : { 30 . [ 20 + ( 49 - 35 ) . 2 ] } =

Veja também:

Radiciação é a operação que realizamos quando queremos descobrir qual o número que multiplicado por ele mesmo uma determinada quantidades de vezes dá um valor que conhecemos.

Exemplo: Qual é o número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dá como resultado 125?

Por tentativa podemos descobrir que:

5 x 5 x 5 = 125, ou seja,

Escrevendo na forma de raiz, temos:

Portanto, vimos que o 5 é o número que estamos procurando.

Símbolo da Radiciação

Para indicar a radiciação usamos a seguinte notação:

Sendo,

n é o índice do radical. Indica quantas vezes o número que estamos procurando foi multiplicado por ele mesmo.
X é o radicando. Indica o resultado da multiplicação do número que estamos procurando por ele mesmo.

Exemplos de radiciação:

(Lê-se raiz quadrada de 400)

(Lê-se raiz cúbica de 27)

(Lê-se raiz quinta de 32)

Propriedades da Radiciação

As propriedades da radiciação são muito úteis quando necessitamos simplificar radicais. Confira a seguir.

1ª propriedade:

Já que a radiciação é a operação inversa da potenciação, todo radical pode ser escrito na forma de potência.

Exemplo:

2ª propriedade:

Multiplicando-se ou dividindo-se índice e expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera.

Exemplos:

3ª propriedade:

Na multiplicação ou divisão com radiciais de mesmo índice realiza-se a operação com os radicandos e mantém-se o índice do radical.

Exemplos:

4ª propriedade:

A potência da raiz pode ser transformada no expoente do radicando para que a raiz seja encontrada.

Exemplo:

Quando o índice e a potência apresentam o mesmo valor: .

Exemplo:

5ª propriedade:

A raiz de uma outra raiz pode ser calculada mantendo-se o radicando e multiplicando-se os índices.

Exemplo:

Radiciação e Potenciação

A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação. Desta forma, podemos encontrar o resultado de uma raiz buscando a potenciação, que tem como resultado a raiz proposta.

Observe:

Note que se o radicando (x) é um número real e o índice (n) da raiz é um número natural, o resultado (a) é a raiz enésima de x se an = x.

Exemplos:

, pois sabemos que 92 = 81

, pois sabemos que 104 = 10 000

, pois sabemos que (–2)3 = –8

Saiba mais lendo o texto Potenciação e Radiciação.

Simplificação de Radicais

Muitas vezes não sabemos de forma direta o resultado da radiciação ou o resultado não é um número inteiro. Neste caso, podemos simplificar o radical.

Para fazer a simplificação devemos seguir os seguintes passos:

1. Fatorar o número em fatores primos.
2. Escrever o número na forma de potência.
3. Colocar a potência encontrada no radical e dividir por um mesmo número o índice do radical e o expoente da potência (propriedade da radiciação).

Exemplo:Calcule

1º passo: transformar o número 243 em fatores primos

2º passo: inserir o resultado, na forma de potência, dentro da raiz

3º passo: simplificar o radical

Para simplificar, devemos dividir o índice e o expoente da potenciação por um mesmo número. Quando isso não for possível, significa que o resultado da raiz não é um número inteiro.

, note que ao dividir o índice por 5 o resultado é igual a 1, desta forma cancelamos o radical.

Assim, .

Veja também: Simplificação de radicais

Racionalização de Denominadores

A racionalização de denominadores consiste em transformar uma fração, que apresenta um número irracional no denominador, em uma fração equivalente com denominador racional.

1º caso – raiz quadrada no denominador

Neste caso, o quociente com o número irracional no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante .

2º caso – raiz com índice maior que 2 no denominador

Neste caso, o quociente com o número irracional no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante , cujo expoente (3) foi obtido pela subtração do índice (5) do radical pelo expoente (2) do radicando.

3º caso – adição ou subtração de radicais no denominador

Neste caso, utilizamos o fator racionalizante para eliminar a radical do denominador, pois .

Operações com Radicais

Soma e Subtração

Para somar ou subtrair devemos identificar se os radicais são semelhantes, ou seja, se apresentam índice e radicando iguais.

1º caso – Radicais semelhantes

Para somar ou subtrair radicais semelhantes, devemos repetir o radical e somar ou subtrair seus coeficientes.

Veja como fazer:

Exemplos:

2º caso – Radicais semelhantes após simplificação

Neste caso, devemos inicialmente simplificar os radicais para se tornarem semelhantes. Depois, faremos como no caso anterior.

Exemplo I:

Portanto, .

Exemplo II:

Portanto, .

3º caso – Radicais não são semelhantes

Calculamos os valores dos radicais e depois efetuamos a soma ou a subtração.

Exemplos:

(valores aproximados, pois a raiz quadrada de 5 e de 2 são números irracionais)

Multiplicação e Divisão

1º caso – Radicais com mesmo índice

Repete a raiz e realiza a operação com os radicandos.

Exemplos:

2º caso – Radicais com índices diferentes

Primeiro, devemos reduzir ao mesmo índice, depois realizar a operação com os radicandos.

Exemplo I:

Portanto, .

Exemplo II:

Portanto, .

Saiba também sobre

• Raiz Quadrada
• Expressões Numéricas
• Exercícios de Potenciação

Exercícios resolvidos sobre radiciação

Questão 1

Calcule os radicais a seguir.

a)

b)

c)

d)

Esconder RespostaVer Resposta

Resposta correta: a) 4; b) -3; c) 0 e d) 8.

a)

b)

c) a raiz do número zero é o próprio zero.

d)

Questão 2

Resolva as operações abaixo utilizando as propriedades da radiciação.

a)

b)

c)

d)

Esconder RespostaVer Resposta

Resposta correta: a) 6; b) 4; c) 3/4 e d) 5√5.

a) Por se tratar da multiplicação de radicais com o mesmo índice utilizamos as propriedades

Portanto,

b) Por se tratar do cálculo da raiz de uma raiz utilizamos a propriedade

Portanto,

c) Por se tratar da raiz de uma fração utilizamos a propriedade

Portanto,

d) Por se tratar da soma e subtração de radicais semelhantes utilizamos a propriedade

Portanto,

Veja também: Exercícios sobre simplificação de radicais

Questão 3

(Enem/2010) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são:

ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científico Baseado em Evidências. Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, no 1, 2002 (adaptado).

Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2 , então ela possui RIP igual a

a) 0,4 cm/kg1/3
b) 2,5 cm/kg1/3
c) 8 cm/kg1/3
d) 20 cm/kg1/3
e) 40 cm/kg1/3

(Enem/2013 - Adaptado) Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”.

HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).

Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:

a)
b)
c)
d)
e)