Como passar uma raiz quadrada para fração?

Muitos estudantes, especialmente aqueles que não mexem com matemática há um bom tempo, ficam perdidos quando tentam fazer divisões com raízes quadradas. Primeiro, considere essas três questões práticas.  

Para segunda questão, é necessário um pouco de geometria. Revise as propriedades do Triângulo 30-60-90 (Triângulo Retângulo) e do Triângulo Equilátero se elas não são familiares para você. A primeira questão é apenas aritmética simples. A terceira é um pouco difícil. Para qualquer uma dessas, pode ser que, mesmo que tenha feito todas suas multiplicações e divisões corretamente, você acabe com uma resposta do tipo – alguma coisa dividido pela raiz quadrada de outra – e e perguntando: por que esta resposta nem aparece nas opções de escolha? Se isto lhe deixa atordoado, você achou o post certo.

Frações e Radicais

Quando nós começamos a mexer com frações, na nossa doce pré-adolescência, tanto os numeradores quanto os denominadores eram lindos inteiros positivos. Agora nós sabemos qualquer tipo de número real, qualquer número na linha dos inteiros, pode aparecer no numerador ou denominador de uma fração. Dentre outras coisas, radicais – ou seja, expressões de raiz quadrada – podem aparecer tanto no numerador quanto no denominador. Não há nenhum problema quando elas aparecem no numerador. Por exemplo,  

Esta não é mais uma fração perfeitamente boa. Matematicamente, esta fração é de “mau gosto”, porque estamos dividindo por uma raiz quadrada. Esta fração está implorando por algum tipo de simplificação. Como simplificamos isto?

Lidando com raiz quadrada no denominador

Pela convenção matemática padrão, seguida pelo GMAT, nós não deixamos raízes quadradas no denominador de uma fração. Se uma raiz quadrada aparece de tal forma, nós seguimos um procedimento chamado racionalização do denominador.   Nós sabemos que qualquer raiz quadrada multiplicada por ela mesma equivale a um número inteiro. Então, se nós multiplicarmos o denominador da raiz quadrada de 3 por ela mesma, daria 3, que não é mais um radical. O problema é – nós não podemos sair por aí multiplicando o denominador de frações por algo, deixando o numerador sozinho, e esperar que a fração se mantenha com o mesmo valor. MAS, lembre-se daquele antigo truque de frações – nós podemos sempre multiplicar uma fração por A/A, por um número sobre ele mesmo, porque a fração seria igual a 1, e multiplicá-la por 1 não muda o valor de nada.   Então, para simplificar a fração com a raiz quadrada de 3 no denominador, nós multiplicamos pela raiz quadrada de 3 sobre a raiz quadrada de 3!  

Este padrão de cancelamento no processo de simplificação pode fornecer algum discernimento para o problema prático nº 1 acima.

Raiz quadrada e adição no denominador

Este é o próximo nível de complexidade. Suponha que estamos dividindo um número por uma expressão que envolva adição ou subtração de uma raiz quadrada. Por exemplo, considere esta fração:  

Esta é uma fração que precisa ser racionalizada. MAS, se apenas multiplicamos o denominador por si mesmo, isto NÃO IRÁ eliminar a raiz quadrada – em vez disso, irá apenas criar expressão mais complicada envolvendo raiz quadrada. Nós usamos a fórmula da diferença de dois quadrados,

Note que a multiplicação no denominador resultou em uma simplificação da “diferença de dois quadrados” que tirou a raiz quadrada do denominador. O termo final está completamente racionalizado e é uma versão totalmente simplificada da original.

Resumo

Após ler esse post, tente resolver as três primeiras questões práticas do começo do artigo antes de ler as explicações abaixo. Se tiver quaisquer dúvidas no processo, por favor, faça-as nos comentários na seção abaixo!

Explicações das questões práticas

1) Para resolver x, nós começamos fazendo a multiplicação cruzada. Note que  

porque, em geral, nós podemos multiplicar e dividir através de radicais.

Resposta = (D)

Resposta = (C)

Resposta = (A)

Esta postagem apareceu originalmente em inglês no Magoosh blog e foi traduzida por Jonas Lomonaco.