Como isolar o x dentro de uma raiz quadrada

Sherlock Holmes é famoso por suas habilidades de resolução de crimes. Não importa o quão pequena seja a pista, ele poderia descobrir 'quem fez isso'. Em parte, isso se devia ao seu conhecimento detalhado sobre uma ampla variedade de tópicos.

Bem, com alguma prática e conhecimento próprio, você pode se tornar o Sherlock Holmes dos mistérios da álgebra. Você pode resolver x independentemente das circunstâncias. Esta lição lhe dará algum conhecimento de que você precisa para se tornar um mestre em álgebra.

O que é um radical?

O que é um radical? Você pode estar pensando (e com razão) que um radical é alguém que fala contra as injustiças. Eles querem fazer as coisas de uma maneira nova e não convencional. Embora isso seja verdade, não ajudará em nada na solução de problemas de álgebra.

Para os fins desta lição, um radical é um termo algébrico sob um símbolo de raiz quadrada. Por exemplo:

Não precisa ser uma raiz quadrada; pode ser uma raiz cúbica, ou quarta raiz ou qualquer outro número. A raiz quadrada é a mais comum e é o que está implícito quando o símbolo radical é usado sozinho. Se outra raiz for necessária, haverá um pequeno número sobrescrito no 'v' do símbolo de raiz, como este:

O 3 indica que é uma raiz cúbica , o que significa que o termo dentro do radical é igual a um termo que foi multiplicado para si mesmo três vezes. Por exemplo:

Isso está correto porque 2 * 2 * 2 = 8.

Operações Inversas

Toda operação matemática tem uma operação inversa , uma operação que é o seu oposto: para adição, é subtração; para multiplicação, é divisão; e para a raiz quadrada, é ao quadrado. Operações inversas são críticas para resolver equações algébricas.

Por exemplo, se você quiser resolver o seguinte: x + 2 = 3. Você precisa obter x sozinho. Para fazer isso, você realiza a operação inversa, para mover 2 para o lado direito da equação. Isso significa que você subtrai (o oposto de adicionar) 2 de ambos os lados da equação. x + 2 = 3. Subtraia 2 de ambos os lados e você obtém x = 1. E seu problema está resolvido.

Equações com radicais

O método para resolver equações contendo radicais envolve o mesmo processo. Para isolar x (ou qualquer que seja a variável), você precisa realizar operações inversas para mover todos os números para o lado direito da equação. Não precisa ser o lado certo. Essa é a maneira mais convencional de fazer as coisas. Você obterá a mesma resposta de qualquer maneira.

Vamos tentar um exemplo. Resolva para x :

A primeira etapa para resolver é remover o símbolo do radical executando a operação inversa, que é elevar os dois lados ao quadrado. (√ (x-1)) ^ 2 = 4 ^ 2. Quando você eleva o lado esquerdo ao quadrado, o quadrado e a raiz quadrada se cancelam, então você fica com x - 1. No lado direito, você simplifica 4 ^ 2 = 16. Agora, o problema é simples. x - 1 = 16. Basta adicionar um a ambos os lados e a solução será x = 17.

Mas espere! Tem mais!

Com os radicais, porém, o problema não termina aí. Sempre existe a possibilidade de você obter uma resposta chamada raiz estranha . Esta é uma resposta que parece funcionar, mas não está certa quando você verifica suas respostas. É por isso que, com problemas que contêm radicais, você sempre deve verificar sua resposta. Não é comum, mas pode haver uma resposta que não funciona. A única maneira de saber é verificar sua resposta substituindo x no problema original.

Neste caso, o problema original era √ ( x - 1) = 4. Substitua 17 por x , e obtemos √ (17 - 1) = 4, ou √ (16) = 4. Para este problema, o número 17 funciona, então nós a confirmamos como a resposta.

Problemas contendo outras raízes são resolvidos da mesma maneira. Por exemplo:

Uma vez que é uma raiz cúbica, a primeira coisa que precisamos fazer é cubar os dois lados.

O que nos dá:

Em seguida, subtraia 4 de ambos os lados para obter x = 23. Novamente, como temos que verificar raízes estranhas, substituiremos a resposta de volta na equação original.

Por causa da verificação, sabemos que 23 é a resposta correta.

O que isso significa no mundo real?

Existem muitas áreas onde os radicais são usados ​​em situações da vida real. Um dos lugares mais comuns é no cálculo de áreas e também no uso do Teorema de Pitágoras. Existem duas outras equações comuns que usam radicais. A primeira é a fórmula de visibilidade, que diz que v = 1,225 * √ a , onde v = visibilidade (em milhas) e a = altitude (em pés). Esta fórmula dirá a que distância você pode ver em um dia claro.

A outra fórmula ajuda os médicos a prescrever medicamentos. Certos medicamentos requerem o conhecimento da área de superfície corporal (BSA) do paciente e a equação para determinar BSA = √ ( wh / 3600), onde w = peso (em libras) eh = altura (em cm).

Vamos tentar um exemplo. Uma mulher em uma asa-delta pode ver 29 milhas no horizonte. Usando a fórmula de visibilidade, a que distância ela está do solo?

A fórmula de visibilidade novamente é v = 1,225 * √ a , onde v = visibilidade (em milhas) e a = altitude (em pés). Substituindo o que sabemos, obtemos esta equação para resolver: 29 = 1,225 * √ a .

Para resolver, primeiro divida ambos os lados por 1,225 para obter 23,67 = √ a . A próxima etapa é elevar ao quadrado os dois lados para se livrar do símbolo de raiz quadrada: (23.67) ^ 2 = (√ a ) ^ 2. Portanto, 560 pés = a , o que significa que a asa-delta está a 560 pés acima do solo.

Para resolver qualquer equação algébrica, você precisa realizar operações inversas para isolar a variável. Se a equação contém um radical, a operação inversa para resolvê-lo é elevá-lo ao quadrado (ou cubo). Isso eliminará o radical e permitirá que você resolva a equação.

Resultados de Aprendizagem

O processo de estudo dos tópicos desta vídeo aula pode permitir que você:

• Defina "radical" no que se refere à matemática
• Resolva uma equação radical usando operações inversas
• Compreenda o uso de radicais em cenários da vida real

A equação irracional é construída a partir de problemas em que a medida desconhecida, a incógnita, é um dos termos do radicando.Para ilustrar, vamos imaginar a soma do número 2 com um número cujo valor é desconhecido e representado por "x". Se extrairmos a raiz quadrada do resultado dessa soma, obtendo o valor igual a 3, então, qual deverá ser o valor de x?

A tradução desse problema em uma sentença matemática conduz ao que é definido como equação irracional:

2 + x = 3

Essa equação exige que retomemos alguns procedimentos e conceitos já conhecidos. São os procedimentos que garantem a resolução de uma equação com segurança - e não é repetitivo lembrar que todas as operações que são aplicadas no primeiro membro de uma equação têm de ser aplicadas também no segundo.Assim, se elevarmos o segundo membro ao cubo temos de fazer o mesmo com o primeiro membro, a fim de que a igualdade da equação seja mantida, independente da operação que estivermos aplicando.Na equação irracional, a estratégia adotada é a de tentar eliminar o principal obstáculo da resolução - que, no caso, é o radical.Dessa forma, para o problema proposto no início desse texto, teríamos a seguinte pergunta: Como retirar a raiz quadrada que está sendo aplicada em x + 2?A potenciação é a operação inversa da radiciação - e o jogo das operações inversas será um dos recursos utilizados.Se elevarmos o número sete ao cubo, para logo depois extrairmos a raiz cúbica, obteremos novamente como resultado o valor igual a sete. Elevar ao cubo, ou à terceira potência, é uma operação inversa da raiz cúbica. As duas operações aplicadas, simultaneamente, a uma mesma quantidade, como foi o caso do número sete, não alteram o valor dessa quantidade.

Agora, imagine a situação de extrair a raiz quadrada de 2 + x e depois elevar o resultado ao quadrado. Essas duas operações - de elevar ao quadrado e de extrair a raiz quadrada - se cancelarão, dando como resultado o 2 + x. Esse é o caminho ou a estratégia para diluir o radical do primeiro membro do nosso exemplo:

A partir dessa iniciativa, temos que nos preocupar em aplicar a mesma operação no segundo membro, para que a igualdade da equação não fique comprometida. Portanto, elevamos ao quadrado, simultaneamente, os dois membros da equação:

Feito isso, teremos como consequência o surgimento das equações (tanto do primeiro como do segundo grau). No nosso caso, as manobras matemáticas produziram uma simples equação do primeiro grau, descrita como 2 + x = 9.

A resolução final, em que obtemos

Na resolução da nossa equação, a verificação de x = 7 é confirmada, já que o sete, somado ao dois, é igual a nove, e a raiz quadrada de 9 é 3:

Para assimilar melhor os procedimentos para a resolução desse tipo de equação, vamos explorar um outro exemplo, imaginando uma incógnita sendo subtraída em três unidades, dando como resultado a raiz quadrada do quádruplo dessa incógnita:

O procedimento de retirar o radical da equação conduz, neste caso, a uma equação do segundo grau, com uma resolução em que os valores de x são iguais a 9 e a 1. Fazemos a verificação para concluir a resposta final do problema:

O valor de x igual a 9 é possível, pois, com esse valor, a igualdade da equação é testada sem contradição com as regras do conteúdo. Já com x = 1 isso não ocorre, pois a expressão propõe que a raiz quadrada de 4 seja igual a - 2, mostrando um resultado inviável e impossível para o conjunto dos números reais.Assim, temos como solução final para esse problema o 9 - o único valor possível para x.

A equação irracional é somente mais um tipo de equação - e exige que estejamos atentos às propriedades da potenciação e da radiciação, lembrando que estudar as equações, na verdade, é estudar as regras que possibilitam a igualdade de cada uma delas. Condição esta sempre proposta pelos problemas.