Com base no gráfico abaixo qual é a média do número de horas estudadas

Uma falsa relação

O cruzamento da quantidade de horas estudadas com o desempenho no Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (Pisa) mostra que mais tempo na escola não é garantia de nota acima da média.

Dos países com notas abaixo da média nesse exame, aquele que apresenta maior quantidade de horas de estudo é

Abaixo do eixo horizontal encontram-se os países com notas abaixo da média no Pisa, são eles: Rússia, Portugal, Itália, Israel e México. De acordo com a representação, quanto mais a direita estiver o país, maior será a quantidade de horas de estudo. Sendo Israel o país mais a direita e abaixo da média, esse é o país questionado.

Os gráficos são representações que facilitam a análise de dados, os quais costumam ser dispostos em tabelas quando se realiza pesquisas estatísticas. Eles trazem muito mais praticidade, principalmente quando os dados não são discretos, ou seja, quando são números consideravelmente grandes. Além disso, os gráficos também apresentam de maneira evidente os dados em seu aspecto temporal.

Leia também: O que é a margem de erro em uma pesquisa?

Elementos do gráfico

Ao construirmos um gráfico em estatística, devemos levar em consideração alguns elementos que são essenciais para sua melhor compreensão. Um gráfico deve ser simples devido à necessidade de passar uma informação de maneira mais rápida e coesa, ou seja, em um gráfico estatístico, não deve haver muitas informações, devemos colocar nele somente o necessário.

As informações em um gráfico devem estar dispostas de maneira clara e verídica para que os resultados finais sejam dados de modo coeso com a finalidade da pesquisa.

Tipos de gráficos

Em estatística é muito comum a utilização de diagramas para representar dados, diagramas são gráficos construídos em duas dimensões, isto é, no plano. Existem vários modos de representá-los, as principais são: gráfico de pontos, gráfico de linha, gráfico de barra, gráfico de coluna e gráfico de setor.

Leia mais: Moda, média e mediana: números que resumem informações de listas de dados

Também conhecido como Dotplot, é utilizado quando possuímos uma tabela de distribuição de frequência, sendo ela absoluta ou relativa. O gráfico de pontos tem por objetivo apresentar os dados das tabelas de forma resumida e que possibilite a análise das distribuições desses dados.

Exemplo

Suponha uma pesquisa, realizada em uma escola de educação infantil, na qual foram coletadas as idades das crianças. Nessa coleta foi organizado o seguinte rol:

Rol: {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6}

Podemos organizar esses dados utilizando um Dotplot

Observe que a quantidade de pontos corresponde à frequência de cada idade e o somatório de todos os pontos fornece-nos a quantidade total de dados coletados.

É utilizado em casos que existe a necessidade de analisar dados ao longo do tempo, esse tipo de gráfico é muito presente em análises financeiras. O eixo das abscissas (eixo x) representa o tempo, que pode ser dado em anos, meses, dias, horas etc., enquanto o eixo das ordenadas (eixo y) representa o outro dado em questão.

Uma das vantagens desse tipo de gráfico é a possibilidade de realizar a análise de mais de uma tabela, por exemplo.

Exemplo

Uma empresa deseja verificar seu faturamento em determinado ano, os dados foram dispostos em uma tabela:

Veja que nesse tipo de gráfico é possível ter uma melhor noção a respeito do crescimento ou do decrescimento dos rendimentos da empresa.

Tem como objetivo comparar os dados de determinada amostra utilizando retângulos de mesma largura e altura. Altura essa que deve ser proporcional ao dado envolvido, isto é, quanto maior a frequência do dado, maior deve ser a altura do retângulo.

Exemplo

Imagine que determinada pesquisa tem por objetivo analisar o percentual de determinada população que acesse ou tenha: internet, energia elétrica, rede celular, aparelho celular ou tablet. Os resultados dessa pesquisa podem ser dispostos em um gráfico como este:

Seu estilo é semelhante ao do gráfico de barras, sendo utilizado para a mesma finalidade. O gráfico de colunas então é usado quando as legendas forem curtas, a fim de não deixar muitos espaços em branco no gráfico de barra.

Exemplo

Este gráfico está, de forma genérica, quantificando e comparando determinada grandeza ao longo de alguns anos.

É utilizado para representar dados estatísticos com um círculo dividido em setores, as áreas dos setores são proporcionais às frequências dos dados, ou seja, quanto maior a frequência, maior a área do setor circular.

Exemplo

Este exemplo, de forma genérica, está apresentando diferentes variáveis com frequências diversas para determinada grandeza, a qual pode ser, por exemplo, a porcentagem de votação em candidatos em uma eleição.

Leia também: Área do setor circular: como calcular

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Fuvest - 1999) A distribuição das idades dos alunos de uma classe é dada pelo seguinte gráfico:

Qual das alternativas representa melhor a média de idade dos alunos?

a) 16 anos e 10 meses

b) 17 anos e 1 mês

c) 17 anos e 5 meses

d) 18 anos e 6 meses

e) 19 anos e 2 meses

Solução

Alternativa c.

Note que o eixo x do gráfico fornece-nos a idade dos alunos e o eixo y fornece-nos a frequência de cada uma das idades, ou seja, a quantidade de vezes que a idade aparece. Assim, devemos utilizar a média ponderada para calcular a média das idades.

Sabemos que 17,43333… = 17 + 0,4333… . Para transformar 0,43333… em meses devemos multiplicá-lo por 12, logo:

0,4333 · 12 = 5 meses

Portanto, a média de idade desses alunos é de 17 anos e 5 meses.

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

A moda, a média e a mediana são conhecidas como medidas de tendências centrais. No estudo da Estatística, é bastante comum que elas sejam utilizadas para compreender melhor o comportamento de um conjunto de dados.

Em um conjunto de dados, a moda é o valor mais frequente no conjunto, ou seja, que mais se repete. Já a mediana é o valor central do conjunto. Já com relação às médias, existem vários tipos, sendo as mais comuns a média aritmética simples e a média aritmética ponderada. A moda, a média e a mediana são bastante recorrentes em exames de seleção e no Enem.

Leia também: Medidas de dispersão: amplitude e desvio

Resumo sobre moda, média e mediana

• A moda, a média e a mediana são conhecidas como medidas de tendências centrais.
• Elas são utilizadas para representar um conjunto de dados com um único valor.
• A moda é o valor com maior frequência absoluta em um conjunto.
• A mediana é o valor que está posicionado no centro do conjunto.
• Existem vários tipos de média, mas os principais são a média aritmética simples e a média aritmética ponderada.

Moda, média e mediana: o que são?

A moda, a média e a mediana são conhecidas como medidas de tendências centrais. Durante o estudo da Estatística, utilizamos as medidas centrais para representar um conjunto de dados com um único valor. A partir da moda, da média ou da mediana, é possível tomar determinadas decisões.

Moda

Em um conjunto de dados, a moda é aquele resultado mais recorrente no conjunto, ou seja, com maior frequência absoluta. Já parou para pensar sobre como as lojas planejam os seus estoques de um determinado produto? Ainda que existam várias marcas de um mesmo produto, há aquele tem maior saída. Para analisar isso, é utilizada a moda.

Exemplo:

Em uma loja de calçados femininos, o estoque é reposto mensalmente. Para entender melhor o consumo de seus clientes, o dono da loja decidiu anotar o tamanho escolhido pelos 35 primeiros clientes em uma lista:

N = {35, 37, 36, 34, 38, 35, 37, 37, 33, 36, 38, 37,35, 37, 34, 33, 37, 36, 35, 38, 36, 35, 36, 37, 38, 39, 37, 37, 36, 37, 33, 37, 35, 37, 39}

Analisando os dados coletados, para realizar o próximo pedido, o tamanho de calçado mais recorrente entre as clientes é a moda desse conjunto.

N = {35, 37, 36, 34, 38, 35, 37, 37, 33, 36, 38, 37,35, 37, 34, 33, 37, 36, 35, 38, 36, 35, 36, 37, 38, 39, 37, 37, 36, 37, 33, 37, 35, 37, 39}

A partir da moda, é possível perceber que 37 é o tamanho mais recorrente entre as clientes dessa loja, dado esse que ajudaria a loja na escolha dos tamanhos na hora de repor o estoque.  Representamos a moda por Mo. Nesse caso, temos que Mo = 37.

Para encontrar a moda, basta escolher o valor com maior frequência absoluta.

Exemplo 2:

Analise os conjuntos e encontre a sua moda:

a) A = {1, 0, 2, 3, 1, 4, 5, 1, 2, 3, 0, 7, 8, 9}

Analisando o conjunto A, é possível perceber que existem dois elementos que mais se repetem no conjunto:

A = {1, 0, 2, 3, 1, 4, 5, 1, 0, 3, 0, 7, 8, 9, 0, 1}

Nesse caso existem dois valores que possuem maior frequência absoluta, logo o conjunto terá duas modas, configurando-se como um conjunto bimodal.

Mo = {0, 1}

b) B { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Analisando esse conjunto, podemos perceber que todos os elementos se repetem de forma igualitária. Quando a frequência absoluta dos termos é a mesma, o conjunto não terá uma moda, logo dizemos que o conjunto é amodal.

Mediana

Dado um conjunto numérico, conhecemos como mediana o valor que ocupa a posição central dos valores quando organizamos esses dados em ordem. Para encontrar a mediana, é possível listar os termos em ordem crescente ou decrescente e encontrar o termo que ocupa a posição central.

Para isso, podemos distinguir dois casos: quando há uma quantidade ímpar de elementos no conjunto e quando há uma quantidade par de elementos no conjunto.

Exemplo:

A altura dos professores da área de ciências da natureza de uma escola foi listada a seguir:

A = { 1,79 m; 1,72 m; 1,63 m; 1,82 m; 1,65 m; 1,75 m; 1,80 m}

Para encontrar a mediana, é essencial que o primeiro passo seja colocar os dados em ordem crescente ou decrescente.

A = {1,63; 1,65; 1,72; 1,75; 1,79; 1,80; 1,82}

Note que há sete elementos no conjunto. Como há uma quantidade ímpar de elementos, a mediana será o termo que está exatamente na metade da lista. Para encontrar o termo central, primeiro encontramos a posição desse termo, dividindo a quantidade de termos por 2, e arredondamos o resultado para o próximo número inteiro, que será a posição do termo central.

Como há 7 elementos, sabemos que 7 : 2 = 3,5. Sempre vamos arredondar para o termo posterior, então a mediana desse conjunto é o 4º termo do conjunto. Agora analisaremos o conjunto:

A = {1,63; 1,65; 1,72; 1,75; 1,79; 1,80; 1,82}

Portanto, a mediana é 1,75 m.

Quando a quantidade de elementos do conjunto é par, é necessário calcular a média entre os dois termos que se encontram no meio do conjunto em ordem.

Exemplo:

B = { 1, 2, 2, 3, 6, 10, 15, 16,16, 20}

Ao realizar a contagem da quantidade de termos, há 10 termos. Então, temos que 10 : 2 = 5, logo os termos centrais são o 5º e o 6º termo.

• O 5º termo da sequência é 6.
• O 6º termo da sequência é 10.

A mediana é a soma desses números dividida por 2, ou seja, (10 + 6): 2 = 16 : 2 =  8. Logo, a mediana desse conjunto é 8.

Leia também: Gráficos — representações que facilitam a análise de dados

Média

Entre as medidas centrais, a mais utilizada é a média. Existem vários tipos de média, mas as mais comuns são a média aritmética simples e a média aritmética ponderada.

A média aritmética é calculada pela soma de todos os elementos do conjunto dividida pela quantidade de elementos do conjunto.

Título: formula-media-artimetica

n → quantidade de elementos

Exemplo:

A idade dos funcionários do departamento de recursos humanos de uma empresa está na lista a seguir:

{28, 30, 29, 31, 32, 33, 34}

Calcule a idade média dos funcionários desse departamento.

Resolução:

Sabemos que há 7 elementos, então temos que:

→ Videoaula sobre média aritmética

Na média aritmética ponderada, são atribuídos pesos para cada um dos valores. Quanto maior for o peso, maior será a influência daquele determinado dado no valor da média aritmética ponderada.

Para calcular a média aritmética ponderada, utilizamos a fórmula:

p1, p2, p3, … pn → pesos

x1, x2, x3, … xn → valores do conjunto

Para calcular a média ponderada, calculamos o produto de cada valor por seu respectivo peso e, depois, calculamos a soma entre esses produtos e dividimos pela soma dos pesos.

Exemplo:

Durante uma seleção de professores, a prova era dividida em algumas etapas, e cada uma delas tinha um peso. O candidato vencedor seria o que alcançasse maior nota. Vamos encontrar, então, o candidato que possui maior média aritmética.

• Prova de língua estrangeira → peso 1
• Prova prática → peso 2
• Prova específica da área→ peso 3
• Análise de currículo → peso 4

Os candidatos Armando e Belchior tiveram as seguintes notas:

Então, calcularemos as médias:

Agora calcularemos a média de Belchior:

O candidato que possui maior média é o Belchior, logo ele será contratado.

→ Videoaula sobre média ponderada

Moda, média e mediana no Enem

A Estatística em si é uma das áreas mais importantes da Matemática e está sempre presente no nosso cotidiano. Tendo isso em vista, em todas as edições da prova do Enem desde 2009, foi comum haver mais de uma questão envolvendo essa área.

A matriz de referências do Enem mostra que um dos objetivos da prova é avaliar a relação do estudante com as medidas centrais.

Isso justifica a recorrência desse conteúdo com problemas ligados a gráficos ou tabelas, nos quais o candidato tem que encontrar uma ou mais medidas centrais para resolver a questão. Vejamos a seguir alguns exercícios resolvidos sobre o tema envolvendo essa habilidade cobrada no Enem.

Exercícios resolvidos sobre moda, média e mediana

Questão 1 — (Enem 2012) O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o CAGED, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010.

Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é:

A) 212.952

B) 229.913

C) 240.621

D) 255.496

E) 298.041

Resolução:

Alternativa B.

Note que há 10 valores. Quando dividimos 10 por 2, temos que o termo central é a média entre o 5º e o 6º termo da sequência. Colocando a sequência em ordem, temos que:

181.419, 181.719, 204.804, 209.425, 212.952, 246.875, 266.415, 298.041, 299.415, 305.068

(212.952 + 246.875) : 2 = 229.923

Questão 02 — (Enem 2018) A Comissão Interna de Prevenção de Acidentes (CIPA) de uma empresa, observando os altos custos com os frequentes acidentes de trabalho ocorridos, fez, a pedido da diretoria, uma pesquisa do número de acidentes sofridos por funcionários. Essa pesquisa, realizada com uma amostra de 100 funcionários, norteará as ações da empresa na política de segurança no trabalho.

Os resultados obtidos estão no quadro:

A média do número de acidentes por funcionário na amostra que a CIPA apresentará à diretoria da empresa é:

A) 0,15.

B) 0,30.

C) 0,50.

D) 1,11.

E) 2,22.

Resolução:

Alternativa D.

Calcularemos a média ponderada. Sabendo que o peso será o número de trabalhadores, cuja soma é 100, temos:

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática