Classificação dos triângulos quanto aos lados e ângulos exercícios 6 ano

A classificação de triângulos é bastante útil para o desenvolvimento do estudo e das propriedades específicas dessa figura geométrica, que tem grande importância na geometria plana. Existem duas maneiras de classificar triângulos. Uma delas leva em consideração os ângulos e, nesse caso, um triângulo pode ser acutângulo, quando possui todos os seus ângulos internos agudos; retângulo, quando um dos seus ângulos internos é reto; ou obtusângulo, quando um de seus ângulos internos é obtuso.

A outra classificação baseia-se na comparação entre os lados. Nesse caso, um triângulo pode ser escaleno, quando todos os lados possuem medidas diferentes; isósceles, quando existem dois lados que possuem mesma medida; ou equilátero, quando todos os lados são congruentes.

Leia também: Paralelogramo – polígono que possui lados opostos paralelos

Propriedades dos triângulos

Um triângulo é um polígono de três lados, três vértices e três ângulos. Normalmente os vértices são representados por letras maiúsculas do nosso alfabeto, e a medida dos lados é representada por letras minúsculas. Já os ângulos são representados por letras do alfabeto grego.

Existem elementos e propriedades comuns a todos os triângulos, que são:

• O triângulo não possui diagonal.
• O triângulo possui três ângulos externos cuja soma é sempre igual a 360º.
• A soma dos ângulos internos (Si) é sempre igual a 180º.
• A soma de dois lados quaisquer é sempre menor que o terceiro lado.
• Todo triângulo possui altura, mediana, mediatriz e bissetriz.
• Todo triângulo possui pontos notáveis importantes: baricentro (encontro das três medianas), circuncentro (encontro das três mediatrizes), incentro (encontro das três bissetrizes) e ortocentro (encontro das três alturas).
• A área de um triângulo qualquer pode ser calculada pela fórmula:

A: área

b: base

h: altura

Existem duas formas de classificar os triângulos, que são independentes entre si. Uma delas leva em consideração os ângulos – nesse caso, um triângulo pode ser obtusângulo, acutângulo ou retângulo. Já a outra maneira de classificar faz a comparação entre o comprimento de cada um dos lados, com isso um triângulo pode ser escaleno, equilátero ou isósceles.

Ao analisar os ângulos internos do triângulo, chegamos a três casos:

Um triângulo é conhecido como acutângulo quando os seus três ângulos são agudos, ou seja, menores que 90º.

Um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos é reto, ou seja, igual a 90º. Como a soma dos três ângulos é sempre igual a 180º, os demais ângulos são necessariamente agudos.

O triângulo retângulo é muito importante para a Matemática, pois, com base nele, são desenvolvidas relações de grande importância, como as relações trigonométricas no triângulo retângulo e o teorema de Pitágoras. Para saber mais informações sobre esse tipo de triângulo, acesse o nosso texto: triângulo retângulo.

Um triângulo é obtusângulo quando um de seus ângulos é obtuso, ou seja, maior que 90º. Os demais ângulos são necessariamente agudos.

Veja também: Semelhança de triângulos – comparação entre lados proporcionais e ângulos congruentes

Analisando os lados do triângulo, podemos também separar três casos:

O triângulo é escaleno quando as medidas dos lados são todas diferentes.

O triângulo é isósceles quando possui pelo menos dois lados congruentes, ou seja, com a mesma medida. Devido a essa particularidade, o triângulo isósceles possui propriedades específicas, que não são válidas para triângulos escalenos.

As propriedades específicas do triângulo isósceles são duas, uma em relação ao ângulo e outra em relação à altura.

• Em triângulos isósceles, os ângulos da base são sempre iguais (tratamos como base o lado que possui medida diferente dos demais lados).

• Ao traçar a altura h do triângulo isósceles, ela divide a base em duas partes iguais.

Note que os segmentos AM e BM são congruentes, o que significa que M é o ponto médio da base desse triângulo.

O triângulo é equilátero quando possui os três lados com as mesmas medidas. Como consequência, os três ângulos também possuem a mesma medida, que é de 60º. Existem fórmulas específicas para o cálculo de área e de altura desse triângulo, a s quais são deduzidas a partir dos três lados congruentes.

No triângulo equilátero, as propriedades do triângulo isósceles também são válidas, afinal, ele possui mais de dois lados iguais. Além disso, conhecendo o lado do triângulo equilátero, podemos encontrar a altura e a sua área pelas fórmulas a seguir:

• Altura do triângulo equilátero

• Área do triângulo equilátero

Acesse também: Trapézio – polígono de quatro lados com dois deles paralelos

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Das sentenças abaixo, assinale a que é verdadeira.

A) Um triângulo equilátero pode ser retângulo.

B) Todo triângulo retângulo é escaleno.

C) Todo triângulo equilátero é acutângulo.

D) Todo triângulo obtuso é isósceles.

E) Todo triângulo isósceles é acutângulo.

Resolução

Alternativa C.

Analisando as alternativas, temos que:

A) Um triângulo equilátero possui todos os lados iguais e, consequentemente, todos os ângulos, que medem 60º, o que torna impossível um triângulo equilátero ser retângulo.

B) Pelo argumento da alternativa anterior, sabemos que um triângulo retângulo não pode ser equilátero, resta saber se ele pode ser isósceles. Sabendo que ele possui um ângulo de 90º, se os outros dois ângulos forem de 45º cada, teremos um triângulo retângulo isósceles, logo nem todo triângulo retângulo é escaleno.

C) Sabendo que os ângulos internos de um triângulo equilátero valem 60º, então é verdade que ele é acutângulo.

D) Um triângulo obtuso pode ser isósceles (por exemplo, se os seus ângulos medirem 100º, 40º e 40º) e escaleno também (por exemplo, se apresentar ângulos de 120º, 20º e 40º). Existem várias outras possibilidades para que ele seja escaleno, o que torna a afirmativa falsa.

E) Pela explicação da letra D, sabemos que um triângulo isósceles pode ser obtuso e, pela explicação da letra B, sabemos que ele pode ser retângulo, o que torna essa sentença falsa.

Questão 2 - Assinale a alternativa correta sobre a classificação dos triângulos.

A) Triângulo equilátero é aquele que possui todos os ângulos medindo 90º.

B) Triângulo isósceles é aquele que possui todos os lados diferentes.

C) Triângulo acutângulo é aquele que possui exatamente um ângulo agudo.

D) Triângulo obtusângulo é aquele que possui um ângulo obtuso.

E) Triângulo retângulo é aquele que possui todos os seus ângulos retos.

Resolução

Alternativa D.

a) O triângulo equilátero possui todos os ângulos iguais a 60º, e não a 90º.

b) O triângulo isósceles é aquele que possui pelo menos dois lados iguais.

c) O triângulo acutângulo possui todos os ângulos agudos, e não somente um.

d) Essa alternativa é a verdadeira, pois essa é a definição de um triângulo obtusângulo.

e) O triângulo retângulo possui somente um ângulo reto.

Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Os triângulos são polígonos que possuem três lados, assim também apresentam três ângulos internos, três ângulos externos e três vértices. No entanto, não são quaisquer três segmentos de reta que determinam um triângulo, ou seja, o tamanho dos lados tem influência em sua existência.

Podemos classificar os triângulos de acordo com o tamanho de seus lados, podendo ser escalenos, isósceles ou equiláteros. E, em relação a seus ângulos internos, podem ser chamados de triângulos retângulos, acutângulos ou obtusângulos.    

Leia também: Conhecendo os polígonos

Elementos de um triângulo

Antes de classificarmos um triângulo, vamos entender os elementos que o formam. Em todo triângulo teremos três lados, estes são formados por segmentos de reta. Teremos também três vértices, em que os segmentos de reta encontram-se em ângulos internos e externos. Veja na figura:

Os lados, como dito, serão determinados por segmentos de reta, e vamos representá-los da seguinte maneira:

Os vértices do triângulo são pontos em que os lados se encontram, bem como usados para dar nome ao triângulo. Vamos representá-los assim:

Os ângulos internos são as medidas entre os lados do triângulo, logo, teremos três ângulos internos. Estes são representados desta forma:

Devemos colocar um acento circunflexo (ou um “chapéu”) no vértice em que se encontra o ângulo.        

Os ângulos externos são ângulos adjacentes suplementares aos ângulos internos, e aqui são representados pelas letras gregas α (alfa) β (beta) e γ (gama). Veja melhor na imagem:

Saiba mais: Soma dos ângulos internos de um triângulo

Condição de existência dos triângulos

Imagine 3 segmentos de reta medindo respectivamente 10 cm, 7 cm e 6 cm. Será possível construir um triângulo com essas medidas? Observe:

Nós temos um exemplo que mostra que não são quaisquer 3 segmentos que formam um triângulo. Existe uma condição que tem de ser satisfeita.

A medida de cada lado do triângulo deve ser menor que a soma da medida dos outros dois lados e, ao mesmo tempo, maior que o módulo da diferença entre elas.  

As medidas l1, l2 e l3 são os tamanhos dos lados do triângulo. Essa relação também é conhecida como desigualdade triangular.

- Exemplo.

É possível construir um triângulo com os lados medindo 12 cm, 9 cm e 4 cm?

Solução:

Tomando:

Perceba que esses valores satisfazem a fórmula da condição de existência. Substituindo os valores, temos:

Como 8 < 9 < 16, então é possível construir um triângulo com essas medidas de lado.

Se quiser saber mais sobre o tema, leia nosso texto: Condição de existência de um triângulo.

Classificação quanto aos lados

Em relação ao tamanho dos lados de um triângulo, podemos classificá-los em três: triângulo escaleno, triângulo isósceles e triângulo equilátero.

Dizemos que um triângulo é escaleno quando todos os lados apresentarem medidas diferentes.

Assim, podemos dizer que todos ângulos internos também são diferentes entre si.

Dizemos que um triângulo é isósceles quando dois de seus lados são congruentes, ou seja, apresentam a mesma medida, e o terceiro lado é diferente.

No triângulo isósceles, temos também dois ângulos iguais, que são chamados de ângulos da base, e o outro ângulo diferente.

Dizemos que um triângulo é equilátero quando todos os seus lados são iguais, isto é, todos os lados têm a mesma medida.

No triângulo equilátero, todos os ângulos são congruentes, ou seja, todos os ângulos são iguais. Além disso, uma propriedade muito importante do triângulo equilátero é que todos os seus ângulos medem 60°.

Veja também: Semelhança de triângulos: aprenda os casos

Classificação quanto aos ângulos

Em relação à medida dos ângulos, também podemos classificar os triângulos em três tipos: triângulo retângulo, triângulo acutângulo e triângulo obtusângulo.

Quando um triângulo apresentar um ângulo reto, ele será chamado de triângulo retângulo. O lado oposto ao ângulo reto recebe o nome de hipotenusa, e os outros dois lados são chamados de catetos. Além disso, é para esse triângulo que vale o teorema de Pitágoras.

Do triângulo retângulo anterior, podemos dizer:

m (Â) = 90º → ângulo reto BC → hipotenusa

AB e AC   → catetos

Um triângulo será dito acutângulo quando todos os seus ângulos internos forem menores que 90°.

Do triângulo acutângulo, temos que:

O triângulo é obtusângulo quando apresenta um ângulo interno maior que 90°.

Do triângulo obtusângulo, segue que:

Saiba mais: Perímetro do triângulo equilátero: aprenda a fórmula

Exercícios resolvidos

Questão 1. Nas figuras seguintes, classifique os triângulos em relação aos lados e ângulos.

a)

R: Retângulo e escaleno

b)

R: Acutângulo e equilátero

c)

R: Obtusângulo e escaleno

d)

R: Acutângulo e escaleno

e)

R: Acutângulo e isósceles