Algum elemento do conjunto é tem mais de um correspondente no conjunto f

Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. Nessa definição, o conjunto A é chamado de domínio, o conjunto B é o contradomínio, e existe ainda um subconjunto do conjunto B chamado imagem.

Uma função determina, para todo elemento x do conjunto A, qual elemento y do conjunto B está relacionado a ele. Em outras palavras, todos os elementos do conjunto A são relacionados a algum elemento do conjunto B, e para cada elemento do conjunto A existe um único “correspondente” no conjunto B.

A forma algébrica de representar a definição da função corresponde, considerados os conjuntos A e B, à regra em que a função f é:

f: A → B
y = f(x)

Observe que essa função é denominada “f”, o que pode ser feito com qualquer letra. Os símbolos A → B indicam que cada elemento do conjunto A, aplicado na função f, tem como resultado um elemento do conjunto B. É por isso que o conjunto A é chamado de domínio. Os resultados em B serão determinados a partir dos valores de A. Por esse motivo, seja x um elemento qualquer do conjunto A, x é chamado variável independente, e seja y um elemento qualquer do conjunto B, y é a variável dependente.

Domínio

Dada a função f de A em B, definida como y = f(x) (modo como deve ser lida a simbologia usada anteriormente), já sabemos que seu domínio é o conjunto A e que um elemento qualquer de A, representado pela letra x, é chamado variável independente.

O domínio é formado por todos os elementos que “dominam” os possíveis resultados encontrados para y em uma função. Esse conjunto é chamado por esse nome porque cada um dos seus valores determina um único resultado no outro conjunto.
Exemplo:

f: N → Z
y = 2x + 1

O domínio dessa função é o conjunto dos números naturais, ou seja:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Portanto, esses são os valores que podem substituir a variável x na função.

Contradomínio

Dada a função f de A em B, definida como y = f(x), já sabemos que o conjunto B é chamado contradomínio. A definição de função garante que cada elemento do domínio (conjunto A) é relacionado a um único elemento do contradomínio (conjunto B). Note que a palavra “cada” garante que todos os elementos do domínio são usados em uma função, mas a expressão “um único elemento do conjunto B” não garante que todos os elementos do contradomínio serão relacionados a elementos do domínio.

Utilizando o mesmo exemplo anterior:

f: N → Z
y = 2x + 1

Note que o contradomínio dessa função é definido no conjunto dos números inteiros. Entretanto, sabemos que “2x + 1” terá como resultado apenas números ímpares. Portanto, o conjunto Z contém todos os elementos que se relacionam a elementos do domínio, não sendo necessariamente seus únicos elementos.

Imagem

O conjunto imagem é formado por todos os elementos do contradomínio que estão relacionados a algum elemento do domínio. No exemplo anterior:

f: N → Z
y = 2x + 1

Os resultados obtidos substituindo elementos do domínio na função são:

Se x = 0, y = 1

se x = 1, y = 3

se x = 2, y = 5

…

Isso significa que os valores de y sempre pertencem ao conjunto dos números ímpares não negativos. Portanto, a imagem dessa função é o conjunto dos números ímpares a partir de 1.

Cada um dos valores de y obtidos é chamado de imagem, assim, se x = 10, sua imagem é y = 21 na função dada como exemplo.

A função é uma relação entre dois conjuntos na qual há uma correspondência entre elementos de um conjunto A com elementos de um conjunto B. Para que essa relação entre o conjunto A e B seja uma função, cada elemento do conjunto A precisa ter um único correspondente no conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio e o conjunto B de contradomínio. Na maioria das vezes, utilizamos para ambos o conjunto dos números reais.

Existem alguns tipos mais comuns de função, sendo eles:

• função polinomial do 1º grau;

• função polinomial do 2º grau;

• função modular;

• função exponencial;

• função logarítmica.

Existem também as funções trigonométricas, que são a função seno, a função cosseno e a função tangente. De acordo com as suas características, uma função pode ser injetora, sobrejetora e bijetora.

Leia também: Quais as diferenças entre função e equação?

Função

Sejam A e B dois conjuntos. Conhecemos como função a relação entre os conjuntos A e B na qual, para todo elemento do conjunto A, há um único correspondente no conjunto B. Quando essa relação existe, ela é descrita da seguinte maneira f: A → B (função de A em B). Em uma função f: A → B, o conjunto A é conhecido como domínio e o conjunto B como contradomínio.

Exemplo 1:

O diagrama a seguir descreve uma função, pois todo elemento do conjunto A possui um correspondente em B.

Exemplo 2:

Outros exemplos que descrevem uma função.

Esse exemplo também é uma função. Por mais que exista um elemento no conjunto B que não é correspondente de nenhum elemento do conjunto A, esse fato não contradiz a definição, pois todos os elementos do A possuem um único correspondente em B.

Exemplo 3:

Veja mais um exemplo de relação entre dois conjuntos que é uma função:

Por mais que exista um elemento no conjunto B que é correspondente de dois elementos no conjunto A, essa relação também é uma função, pois as restrições são para o conjunto A, ou seja, um elemento de A não pode ter dois correspondentes em B, mas um elemento de B pode ser correspondente de dois elementos em A.

Agora vejamos algumas situações em que a relação entre os conjuntos não pode ser classificada como uma função:

Exemplo 4:

Note que existe um elemento de A que não possui nenhum correspondente em B, o que contradiz a definição de função, logo essa relação não é uma função.

Exemplo 5:

Esse caso também não é uma função, pois existe um elemento de A que possui dois correspondentes no conjunto B.

Leia também: Plano cartesiano — outra forma de representar geometricamente as funções

Lei de formação da função

Conhecemos como lei de formação da função a fórmula que relaciona os elementos do domínio com os elementos do contradomínio. Por exemplo, seja f: R → R, com lei de formação f(x) = 2x, essa função recebe valores do domínio e relaciona-os com o seu dobro no contradomínio.

Exemplo:

f(1) = 2 · 1 = 2

Dizemos que o número 1 no domínio tem como imagem o número 2 no contradomínio.

f(2) = 2 · 2 = 4

A imagem de 2 é o 4.

Tipos de função

Existem duas formas distintas de classificar as funções. Uma delas é quanto à sua lei de formação e a outra é quanto à relação entre domínio e contradomínio.

Quando analisamos a relação entre o domínio e o contradomínio, existem três classificações importantes, isto é, uma função pode ser injetora, sobrejetora e bijetora.

→ Função injetora

Uma função qualquer f: A → B é classificada como injetora se, e somente se, elementos diferentes do conjunto A possuem imagens diferentes no conjunto B. Isso quer dizer que dois elementos diferentes do conjunto A não podem possuir o mesmo correspondente no conjunto B.

Note que, na segunda imagem, existem dois elementos diferentes do conjunto A que possuem o mesmo correspondente no conjunto B, o que faz com que essa função não seja injetora.

→ Função sobrejetora

Conhecemos uma função como sobrejetora se todos os elementos do seu contradomínio forem imagem de pelo menos um elemento no domínio.

Note que, nesse caso, existe um elemento do conjunto B que não é imagem de nenhum dos elementos do conjunto A, logo dizemos que essa função não é sobrejetora.

→ Função bijetora

Para que uma função seja bijetora, ela precisa ser sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, satisfazendo as duas condições.

Veja também: O que é função inversa?

Vamos classificar as funções de acordo com a lei de formação. Conhecemos as funções polinomiais, modulares, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.

→ Funções polinomiais

Conhecemos como função polinomial qualquer função cuja lei de formação é um polinômio. De acordo com o grau desse polinômio, a função pode receber nomes diferentes, conforme lista a seguir. Para as leis de formação a seguir, considere os coeficientes a, b, c e d como números reais.

→ Função modular

Uma função é conhecida como modular quando ela possui, em sua lei de formação, uma variável dentro de um módulo. No módulo pode haver qualquer outro tipo de expressão algébrica, como um polinômio.

• f(x) = |ax + b|

• f(x) = |ax² + bx + c|

• f(x) = | sen (x) |

→ Função exponencial

Uma função é classificada como exponencial quando a variável x do expoente é um número real diferente de 1. A sua lei de formação é:

f(x) = ax

→ Função logarítmica

A função é classificada como logarítmica quando, em sua lei de formação, há um logaritmo de base a que é um número real diferente de 1. A sua lei de formação é:

f(x) = loga x

→ Funções trigonométricas

Existem três principais funções trigonométricas. Como o nome sugere, a função é trigonométrica quando, em sua lei de formação, há uma razão trigonométrica. As principais são a função seno, a função cosseno e a função tangente.

• f(x) = sen x

• f(x) = cos x

• f(x) = tg x

Aplicações das funções

A função está constantemente presente nas nossas vidas, pois estamos trabalhando rotineiramente com situações que envolvem grandezas. Vários fenômenos físicos só podem ser explicados por meio de uma função, como a maioria das fórmulas da Física e da Química.

Existem situações bem simples no nosso dia a dia que podem ser descritas como uma função, como o peso de uma verdura e o valor a ser pago por ela, o consumo de combustível e a quilometragem rodada, entre outras situações. Quase sempre que houver uma relação entre duas grandezas, será possível descrever essa situação por meio de uma função.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Analise as relações entre os conjuntos a seguir:

Marque a alternativa correta:

A) As relações I, II e III são funções.

B) Somente a relação I não é uma função.

C) Somente a relação II não é uma função.

D) Somente a relação III não é uma função.

E) As relações I, II e III não são funções.

Resolução

Alternativa D.

Analisando as relações I e II satisfazem a definição de função, pois, para cada elemento de A, existe um único correspondente pertencente ao conjunto B. Na III, é possível perceber que há um elemento em A que não possui correspondente em B, então:

• I → é função;

• II → é função;

• III → não é função, pois existe um elemento no domínio que não possui nenhum correspondente no contradomínio.

Questão 2 - (Seduce – MT) Analise as quatro afirmações abaixo sobre funções matemáticas:

I. Uma função é injetora se cada elemento do domínio da função possui uma imagem diferente no contradomínio.

II. Uma função é sobrejetora se cada elemento do contradomínio for imagem de um elemento do domínio da função.

III. Uma função não pode ser injetora e sobrejetora simultaneamente.

IV. O contradomínio de uma função numérica sempre será um conjunto numérico maior que o domínio dessa função. Por exemplo, se o domínio de uma função for os números naturais, o contradomínio será, no mínimo, o conjunto dos números inteiros.

Assinale a alternativa que indica quais dessas afirmações estão corretas.

A) Apenas a afirmação I está correta.

B) Apenas as afirmações I e II estão corretas.

C) Apenas as afirmações I e III estão corretas.

D) Apenas as afirmações II e IV estão corretas.

E) Apenas as afirmações II e III estão corretas.

Resolução

Alternativa B.

I → Verdadeira, pois essa é a definição de função injetora.

II → Verdadeira, pois essa é a definição de função sobrejetora.

III → Falsa, pois uma função pode ser injetora e sobrejetora simultaneamente.

IV → Falsa, pois o domínio e o contradomínio podem ser, inclusive, os mesmos conjuntos. Além disso, o contradomínio pode ter menos elementos que o domínio.