Matemática
A fórmula que apresentada logo abaixo é uma aproximação para raízes quadradas, mas se nos deparamos com um problema e não temos uma calculadora na mão, ou o nosso celular ficou sem bateria, podemos usá-la sem medo. Vejamos:
Onde, Q é o quadrado mais próximo de n.
Exemplo 1: se quisermos encontrar uma aproximação para a raiz quadrada de 17, procedemos da seguinte forma:
Como o quadrado 16 é o mais próximo do número que queremos encontrar a raiz, aplicamos na fórmula (1):
Pela calculadora encontramos o valor de 4,123...
Exemplo 2: se quisermos encontrar a raiz quadrada de 173, procedemos da seguinte forma:
Como o quadrado de 13 é o mais próximo de 173, aplicamos na fórmula (1):
Pela calculadora encontramos o valor de 13,1529...
Exemplo 3: Certo. E para raízes de números decimais? Usamos o mesmo princípio. Vamos encontrar uma aproximação para 0,0058.
Primeiro vamos deixar o número 0,0058 em sua forma fracionária:
Vamos encontrar o quadrado mais próximo de 58, que é 64:
Pela calculadora encontramos o valor de 0,07615...
Difícil?
Veja mais:
Método Babilônico para Aproximação da Raiz QuadradaMétodo de Herão para Aproximação da Raiz QuadradaMétodo de Newton para Aproximação da Raiz Quadrada
Aproximação da Raiz Quadrada de m Número n
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- Raiz Quadrada
Chama-se raiz quadrada de um número natural, um segundo número natural cujo o quadrado é igual ao número dado. Exemplos: a) √49 = 7 porque 7² = 49 b) √100 = 10 porque 10² = 100 NÚMEROS QUADRADOS PERFEITOS Vamos calcular os quadrados dos primeiros...- Aproximação De Raiz Quadrada De Um Número N
Introdução Os Babilônios deram algumas aproximações interessantes de raízes quadradas de números não-quadrados perfeitos, tais como 17/12 para aproximar , 17/24 para . Talvez eles usassem a fórmula de aproximação: Uma aproximação notável...- Método Babilônico Para Aproximação De Raiz Quadrada De Um Número N
Os Babilônios utilizavam um algoritmo para aproximar uma raiz quadrada de um número qualquer, da seguinte maneira: Dado um número n, para encontrar a raiz quadrada aproximada, assumimos uma aproximação inicial a0 e calculamos b0. Em seguida, utilizamos...- Método De Newton Para Aproximação De Raiz Quadrada De Um Número N
Newton descobriu um método para aproximar os valores das raízes de uma equação numérica, aplicável tanto para equações algébricas como para equações transcendentes. A variante desse método, hoje conhecido como Método de Newton, diz o seguinte:...Matemática
Rafael Barreto
Há mais de um mês
Leandro Araujo
Há mais de um mês
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Home › Grupo de perguntas 7 › Qual é a raiz quadrada de 0,49?
- a) 0.7
- b) 0.007
- c) 0.07
- d) 7
Grupos de Perguntas
A raiz quadrada aproximada é utilizada quando precisamos calcular a raiz quadrada de um número que não possui raiz exata. Quando isso ocorre, é necessário utilizar uma aproximação, porque a raiz quadrada nesse caso forma uma dízima não periódica. Para descobrir uma aproximação da raiz quadrada, primeiramente encontramos entre quais números naturais a raiz quadrada se situa. Posteriormente, podemos analisar o valor da casa decimal, encontrando o valor que mais se aproxima da raiz quadrada desejada.
Leia também: Raiz cúbica — o caso de radiciação em que o 3 é o índice do radical
Videoaula sobre raiz quadrada aproximada
Raiz quadrada aproximada x Raiz quadrada exata
Existem dois casos possíveis para a raiz quadrada de um número natural: o resultado pode ser uma raiz quadrada exata ou não. Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos. Veja alguns deles a seguir:
-
\( \sqrt0=0\)
-
\( \sqrt1=1\)
-
\( \sqrt4=2\)
-
\( \sqrt9=3\)
-
\( \sqrt{16}=4\)
-
\( \sqrt{25}=5\)
-
\( \sqrt{36}=6\)
-
\( \sqrt{49}=7\)
-
\( \sqrt{64}=8\)
-
\( \sqrt{81}=9\)
-
\( \sqrt{100}=10\)
-
\( \sqrt{121}=11\)
-
\( \sqrt{144}=12\)
-
\( \sqrt{169}=13\)
-
\( \sqrt{196}=14\)
-
\(\sqrt{225}=15\)
Quando o número natural não é um quadrado perfeito, a raiz quadrada desse número é uma dízima não periódica, como a raiz de 3 a seguir:
\(\sqrt3=1.73205080756887729362772\ldots\)
Quando a raiz quadrada não é um número exato, é possível encontrar uma aproximação para o valor da raiz.
Quando a raiz quadrada não é exata, podemos calcular a raiz quadrada aproximada. Para isso, é necessário, inicialmente, encontrar entre quais quadrados perfeitos esse número se situa. Posteriormente, encontramos o intervalo em que a raiz quadrada desse número está. Por fim, determinamos a casa decimal por tentativa.
Calcularemos o valor da \(\sqrt{20}\), por aproximação.
Resolução:
De início, encontraremos entre quais quadrados perfeitos o número 20 está:
16 < 20 < 25
Posteriormente, encontraremos entre quais valores está a raiz quadrada de 20:
\(\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}\)
\(4<\sqrt{20}<5\)
Sabemos que \(\sqrt{20} \) está entre 4 e 5, logo a parte inteira é 4, que é o menor dentre os valores.
Encontraremos a primeira casa decimal calculando o quadrado dos valores que estão entre 4,1 e 4,9 e descobrindo entre quais desses números a \(\sqrt{20}\) está. Para isso, calcularemos o quadrado de cada um deles até encontrar um número maior que 20:
4,1² = 16,81 4,2² = 17,64 4,3² = 18,49 4,4² = 19,36
4,5² = 20,25
Note que \(\sqrt{20}\) está entre 4,4 e 4,5.
Caso o objetivo seja encontrar uma aproximação com uma casa decimal, dizemos que:
\(\sqrt{20}=4,4\) por falta
\(\sqrt{20}=4,5 \) por excesso.
Podemos também encontrar a próxima casa decimal, agora que encontramos um novo intervalo para \(\sqrt{20}\):
\(4,4<\sqrt{20}<4,5\)
Testando os valores com duas casas decimais, temos que:
4,41² = 19,4481 4,42² = 19,5364 4,43² = 19,6249 4,44² = 19,7136 4,45² = 19,8025 4,46² = 19,8916 4,47² = 19,9809
4,48² = 20,0704
Agora, reduzimos mais ainda o intervalo, pois sabemos que a \(\sqrt{20}\) está entre 4,47 e 4,48.
\(\sqrt{20}\) = 4,47 por falta.
\(\sqrt{20}\) = 4,48 por excesso.
Podemos repetir esse procedimento para quantas casas decimais quisermos.
Calcule \(\sqrt2\).
Resolução:
1 < 2 < 4
Temos que:
\(\sqrt1<\sqrt2<\sqrt4\)
\(1<\sqrt2<2\)
Sabemos que \(\sqrt2\) é um número entre 1,1 e 1,9:
1,1² = 1,21 1,2² = 1,44 1,3² = 1,69 1,4² = 1,96
1,5² = 2,25
Portanto, \(\sqrt2\) está entre 1,4 e 1,5.
\(\sqrt2\) = 1,4 por falta.
\(\sqrt2\) = 1,5 por excesso.
Calculando a segunda casa decimal:
1,41² = 1,9881
1,42² = 2,0164
\(\sqrt2\) = 1,41 por falta.
\(\sqrt2\) = 1,42 por excesso.
Saiba também: O que é uma função raiz?
Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada aproximada
Questão 1
Calculando o valor aproximado de \(\sqrt{60}\) com duas casas decimais por falta, encontramos:
A) 7,71
B) 7,72
C) 7,73
D) 7,74
E) 7,75
Resolução:
Alternativa D
O número 60 está entre os quadrados perfeitos 49 e 64:
\(49<60<64\)
\(\sqrt{49}<\sqrt{60}<\sqrt{64}\)
\(7<\sqrt{60}<8\)
Testando os números entre 7,1 e 7,9:
7,1² = 50,41 7,2² = 51,84 7,3² = 53,29 7,4² = 54,76 7,5² = 56,25 7,6² = 57,76 7,7² = 59,29
7,8² = 60,84
Então, temos que \(7,7<\sqrt{60}<7,8:\):
7,71² = 59,4441 7,72² = 59,5984 7,73² = 59,7529 7,74² = 59,9076
7,75² = 60,0625
A aproximação por falta é, portanto, 7,74.
Questão 2
O número 3,87 é a aproximação por falta de:
A) \(\sqrt{14}\)
B) \(\sqrt{15}\)
C) \(\sqrt{15}\)
D) \(\sqrt{17}\)
Resolução:
Alternativa B
Calculando o quadrado de 3,87:
3,87² = 14,9769
O número decimal 3,87 é a melhor aproximação por falta para \(\sqrt{15}\).